1. 푸리에 급수 (Fourier Series)
푸리에 급수의 핵심 아이디어는 "모든 주기 함수는 기본 주파수의 정현파(고조파, Harmonics)들의 무한 합으로 분해할 수 있다"는 것이다.
1.1 삼각 푸리에 급수 (Trigonometric Fourier Series)
주기 T_0를 갖는 함수 f(t)는 다음과 같이 표현된다.
f(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t))
⦁a_0: 함수의 평균값 또는 DC 성분이다.
⦁\omega_0 = 2\pi / T_0: 기본 주파수(Fundamental Frequency)이다.
⦁a_n, b_n: 각 고조파 성분의 진폭을 나타내는 푸리에 계수이며, 적분을 통해 계산된다.
1.2 지수 푸리에 급수 (Exponential Fourier Series)
오일러 공식을 사용하면 삼각 푸리에 급수를 더 간결한 복소수 형태로 표현할 수 있다.
f(t) = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 t}
⦁c_n: 복소 푸리에 계수이며, c_0 = a_0이고, c_n은 a_n과 b_n을 모두 포함하는 정보를 갖는다.
⦁주파수 스펙트럼: c_n의 크기(|c_n|)와 위상(\angle c_n)을 주파수(n\omega_0)에 대해 그래프로 나타낸 것을 말하며, 신호의 주파수 성분 분포를 한눈에 보여준다.
1.3 파형 대칭성의 활용
⦁우함수 (Even symmetry) f(t) = f(-t)인 경우, b_n 항은 모두 0이 되어 코사인 항들만 남는다.
⦁기함수 (Odd symmetry): f(t) = -f(-t)인 경우, a_n 항(DC 포함)은 모두 0이 되어 사인 항들만 남는다.
⦁반파 대칭 (Half-wave symmetry): 반 주기 이동 시 부호가 반전되는 경우, 짝수 고조파(n=2, 4, \dots)가 모두 0이 된다.
2. 푸리에 급수를 이용한 회로 해석
주기적인 비정현파 입력이 가해진 회로의 정상 상태 응답은 중첩의 원리(Superposition)를 이용하여 구한다.
1) 입력 신호 v_i(t)를 푸리에 급수로 분해한다.
2) 각 고조파 성분(n\omega_0)을 별개의 정현파 전원으로 취급한다.
3) 회로의 전달 함수 H(s)에서 s=jn\omega_0를 대입하여 각 고조파에 대한 주파수 응답 H(jn\omega_0)를 계산한다.
4) 각 고조파 전원에 대한 출력 페이저를 구한다 (V_{o,n} = H(jn\omega_0) V_{i,n}).
5) 각 출력 페이저를 시간 영역의 정현파로 변환한 뒤, 모두 합하여 최종 출력 v_o(t)를 얻는다.
3. 푸리에 변환 (Fourier Transform)
푸리에 급수가 주기 신호를 다루는 도구라면, 푸리에 변환은 비주기 신호(Non-periodic Signal)를 주파수 영역에서 해석하는 도구이다. 이는 주기가 무한대(T_0 \rightarrow \infty)인 경우로 확장한 개념이다.
⦁변환 (Analysis): 시간 함수 f(t)를 주파수 스펙트럼 F(\omega)로 변환한다.
F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} dt
⦁역변환 (Synthesis): 주파수 스펙트럼 F(\omega)를 다시 시간 함수 f(t)로 복원한다.
f(t) = \mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t} d\omega
푸리에 변환을 이용하면 s-영역과 마찬가지로 Y(\omega) = H(j\omega)X(\omega) 관계를 통해 회로 응답을 구할 수 있으며, 이는 통신 시스템 해석의 근간이 된다.