1. 서론: s-영역에서의 회로 해석
12장에서 배운 라플라스 변환을 이용하여 회로 소자와 회로망 전체를 복소 주파수 영역(s-영역)으로 변환하여 해석하는 방법을 다룬다. 시간 영역(t-domain)에서의 미분방정식을 푸는 대신, s-영역에서 변환된 등가 회로를 그리고 대수방정식을 풀면 되므로 해석 과정이 훨씬 간결해지고 체계적이 된다.
2. 기본 회로 소자의 s-영역 모델 (Circuit Element Models)
시간 영역의 소자를 s-영역으로 변환할 때는 초기 조건(Initial Conditions)을 등가 전원(전압원 또는 전류원)으로 표현하는 것이 가장 중요하다.
⦁저항 (Resistor)
- 시간 영역과 동일하게 저항값 R을 그대로 사용한다.
- V(s) = R I(s)
⦁인덕터 (Inductor)
- 임피던스는 sL이다.
- 초기 전류 i(0)가 흐르고 있었다면, 이를 에너지가 저장된 상태로 보아 직렬 전압원 Li(0) 또는 병렬 전류원 i(0)/s를 포함하여 모델링한다.
- 직렬 등가 모델: V(s) = sL I(s) - Li(0)
⦁커패시터 (Capacitor)
- 임피던스는 \dfrac{1}{sC}이다.
- 초기 전압 v(0)가 걸려 있었다면, 이를 직렬 전압원 v(0)/s 또는 병렬 전류원 Cv(0)를 포함하여 모델링한다.
- 직렬 등가 모델: V(s) = \dfrac{1}{sC} I(s) + \dfrac{v(0)}{s}
3. 회로 해석 기법의 적용 (Analysis Techniques)
회로를 s-영역으로 변환하고 나면, 직류 회로에서 사용했던 모든 해석 기법을 그대로 적용할 수 있다.
⦁기본 법칙: 옴의 법칙, 키르히호프의 전류/전압 법칙(KCL, KVL)이 모두 성립한다.
⦁해석 기법: 노드 해석법(Nodal Analysis), 망로 해석법(Mesh Analysis), 중첩의 원리(Superposition), 전원 변환(Source Transformation), 테브난/노톤 정리 등을 사용하여 V(s)나 I(s)를 구한다.
⦁해의 도출: 구해진 s-영역의 해를 역 라플라스 변환하여 최종적인 시간 영역의 응답 v(t)나 i(t)를 얻는다.
4. 전달 함수 (Transfer Function)
시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 나타내는 매우 중요한 함수이다.
⦁정의: 모든 초기 조건이 0일 때, 입력 라플라스 변환 X(s)에 대한 출력 라플라스 변환 Y(s)의 비로 정의된다.
H(s) = \dfrac{Y(s)}{X(s)}
⦁의미: 시스템 고유의 특성을 나타내며, 입력 신호에 시스템의 전달 함수를 곱하면 출력 신호를 얻을 수 있다 (Y(s) = H(s)X(s)).
⦁임펄스 응답: 전달 함수 H(s)의 역변환인 h(t)는 단위 임펄스 입력 \delta(t)에 대한 시스템의 시간 영역 응답과 같다.
5. 극점과 영점 (Poles and Zeros)
전달 함수 H(s)를 분수식 형태로 나타냈을 때, 분모와 분자의 근을 통해 시스템의 특성을 파악할 수 있다.
⦁극점 (Poles): 분모를 0으로 만드는 s의 값이다. 시스템의 고유 응답(Natural Response)과 안정도(Stability)를 결정한다. 극점이 복소 평면의 좌반면(LHP)에 있어야 시스템이 안정하다.
⦁영점 (Zeros): 분자를 0으로 만드는 s의 값이다. 특정 주파수 성분을 차단하거나 응답의 크기에 영향을 준다.
⦁보드 선도와의 관계: 11장에서 배운 주파수 응답 특성은 s 자리에 j\omega를 대입하여 얻을 수 있다.
6. 회로 응답의 계산
전달 함수를 이용하면 다양한 입력에 대한 응답을 쉽게 구할 수 있다.
⦁단위 계단 응답: 입력이 u(t) (X(s) = 1/s)일 때의 출력이다.
⦁정현파 정상 상태 응답: H(s)에서 s=j\omega를 대입하여 크기와 위상 변화를 계산하면, 페이저 해석을 하지 않고도 정현파 입력에 대한 정상 상태 출력을 바로 알 수 있다 (Y_{ss} = |H(j\omega)| \angle H(j\omega)).