1. 서론: 미분방정식의 대수화
지금까지 우리는 미분방정식을 시간 영역에서 직접 풀거나, 페이저를 이용해 정상 상태만 해석했다. 하지만 라플라스 변환을 사용하면 미분과 적분 연산을 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 대수 연산으로 바꾸어 복잡한 회로의 과도 현상을 포함한 전체 응답을 효율적으로 구할 수 있다.
2. 라플라스 변환의 정의 (Definition)
시간 함수 f(t)가 t \ge 0에서 정의될 때, 라플라스 변환 F(s)는 다음과 같이 정의된다.
F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \displaystyle\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt
여기서 s는 복소 주파수(s = \sigma + j\omega)이다. 이 변환을 통해 시간(t) 영역의 신호를 복소 주파수(s) 영역으로 옮길 수 있다.
3. 주요 함수들의 변환 쌍 (Transform Pairs)
회로 해석에서 자주 등장하는 기본 신호들의 변환 쌍은 반드시 암기해야 한다.
⦁단위 계단 함수 (Step Function): u(t) \rightarrow \dfrac{1}{s}
⦁단위 임펄스 함수 (Impulse Function): \delta(t) \rightarrow 1
⦁지수 함수 (Exponential Function): e^{-at}u(t) \rightarrow \dfrac{1}{s+a}
⦁램프 함수 (Ramp Function): t u(t) \rightarrow \dfrac{1}{s^2}
⦁정현파 함수: \sin(\omega t) \rightarrow \dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}, \quad \cos(\omega t) \rightarrow \dfrac{s}{s^2 + \omega^2}
4. 주요 성질 (Properties)
라플라스 변환의 성질을 이용하면 복잡한 함수의 변환을 쉽게 수행할 수 있다.
⦁선형성 (Linearity): 상수는 밖으로 나오고, 합은 분리된다.
⦁미분 (Differentiation): 시간 영역의 미분은 s를 곱하는 것과 같으며, 초기 조건을 포함한다. 이것이 회로 해석에서 핵심이다.
\mathcal{L}\left\{\dfrac{df(t)}{dt}\right\} = sF(s) - f(0^-)
⦁적분 (Integration): 시간 영역의 적분은 s로 나누는 것과 같다.
\mathcal{L}\left\{\displaystyle\int_{0}^{t} f(\tau) d\tau\right\} = \dfrac{F(s)}{s}
⦁시간 추이 (Time Shift): 시간 지연은 지수함수 곱으로 표현된다.
\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)
5. 라플라스 역변환 (Inverse Laplace Transform)
s-영역에서 구한 해 F(s)를 다시 시간 영역의 f(t)로 되돌리는 과정이다. 주로 부분 분수 전개(Partial Fraction Expansion) 기법을 사용한다.
⦁단순 극점 (Simple Poles): F(s)의 분모가 서로 다른 1차 인수의 곱으로 인수분해될 때, 각 항의 계수(Residue)를 구하여 역변환한다.
⦁중복 극점 (Repeated Poles): 분모에 (s+a)^n 형태가 있을 때, 미분을 통해 계수를 구한다.
⦁복소 극점 (Complex Poles): 켤레 복소수 쌍으로 존재하며, 이는 시간 영역에서 감쇠 진동하는 정현파(e^{-at}\cos\omega t 등) 형태로 나타난다.
6. 초기값 정리와 최종값 정리 (Initial and Final Value Theorems)
시간 영역으로 역변환하지 않고도 시스템의 초기 상태와 정상 상태 값을 알 수 있는 유용한 정리다.
⦁초기값 정리: f(0^+) = \displaystyle\lim_{s \to \infty} sF(s)
⦁최종값 정리: f(\infty) = \displaystyle\lim_{s \to 0} sF(s)(단, 최종값 정리는 시스템이 안정할 때, 즉 모든 극점이 좌반면에 있을 때만 성립한다.)
7. 회로 해석에의 응용 (s-Domain Circuits)
회로 소자를 s-영역의 임피던스로 모델링하면, 미분방정식 없이 키르히호프의 법칙을 그대로 적용할 수 있다.
⦁저항: R (변화 없음)
⦁인덕터: 임피던스는 sL이다. 초기 전류 i(0)가 있다면, 직렬 전압원 Li(0) 또는 병렬 전류원 i(0)/s를 포함한 모델로 변환한다.
⦁커패시터: 임피던스는 1/sC이다. 초기 전압 v(0)가 있다면, 직렬 전압원 v(0)/s 또는 병렬 전류원 Cv(0)를 포함한 모델로 변환한다.