가변 주파수 회로망의 동작

1. 서론: 주파수에 따라 변하는 회로의 세상

우리는 이미 임피던스가 주파수의 함수라는 것을 알고 있다. 주파수가 변하면 임피던스가 변하고, 결과적으로 회로의 전압과 전류 응답도 달라진다. 이 장에서는 주파수 응답(Frequency Response)을 해석하고, 이를 응용하여 특정 주파수 대역의 신호만 통과시키는 필터(Filter)와 신호를 증폭시키는 공진(Resonance) 회로를 다룬다.

2. 가변 주파수 응답 분석 (Variable Frequency Response Analysis)

회로 소자(R, L, C)는 주파수에 따라 각기 다른 행동 양식을 보인다.

⦁저항(R): 주파수와 무관하게 임피던스가 일정하다.

⦁인덕터(L): 주파수가 커질수록 임피던스(j\omega L)가 커진다. 즉, 고주파수에서는 개방(Open), 저주파수(DC)에서는 단락(Short)처럼 동작한다.

⦁커패시터(C): 주파수가 커질수록 임피던스(1/j\omega C)가 작아진다. 즉, 고주파수에서는 단락(Short), 저주파수(DC)에서는 개방(Open)처럼 동작한다.

이러한 소자들의 특성을 조합하여 우리는 원하는 주파수 대역의 신호를 제어할 수 있는 회로망 함수(Network Function) H(j\omega)를 정의할 수 있다.

3. 공진 회로 (Resonant Circuits)

인덕터와 커패시터가 에너지를 주고받으며 특정 주파수에서 회로의 응답이 극대화되는 현상을 공진이라 한다.

3.1 직렬 공진 (Series Resonance)

⦁공진 주파수 (\omega_0): 인덕터와 커패시터의 임피던스 크기가 같아져 상쇄되는 주파수이다.

\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}

⦁특징: 공진 시 전체 임피던스는 최소가 되고(Z=R), 전류는 최대가 된다. 전압과 전류는 동상이 된다.

3.2 병렬 공진 (Parallel Resonance)

⦁공진 주파수: 직렬 공진과 동일하게 \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}이다.

⦁특징: 공진 시 전체 임피던스는 최대가 되고(Z=R), 전압이 최대가 된다.

3.3 품질 계수 (Quality Factor, Q)

공진의 날카로움을 나타내는 지표이다. Q값이 클수록 공진 곡선이 뾰족해지고 선택도(Selectivity)가 좋아진다.

⦁직렬 공진: Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{1}{\omega_0 CR}

⦁병렬 공진: Q = \dfrac{R}{\omega_0 L} = \omega_0 CR

3.4 대역폭 (Bandwidth, BW)

전력이 최대 전력의 반(Half-power)이 되는 두 주파수 사이의 폭이다.

BW = \dfrac{\omega_0}{Q}

4. 필터 (Filters)

주파수 선택 특성에 따라 신호를 걸러내는 회로이다.

⦁저역 통과 필터 (Low-Pass Filter, LPF): 낮은 주파수는 통과시키고 높은 주파수는 차단한다. (예: RC 직렬 회로에서 C 양단 출력)

⦁고역 통과 필터 (High-Pass Filter, HPF): 높은 주파수는 통과시키고 낮은 주파수는 차단한다. (예: RC 직렬 회로에서 R 양단 출력)

⦁대역 통과 필터 (Band-Pass Filter, BPF): 특정 주파수 대역만 통과시킨다. (예: RLC 직렬 회로)

⦁대역 저지 필터 (Band-Stop Filter, BSF): 특정 주파수 대역만 차단한다 (Notch Filter).

5. 보드 선도 (Bode Plots)

주파수 응답을 로그 스케일로 표현하여 광범위한 주파수 영역에서의 특성을 직관적으로 파악하는 그래프이다.

⦁크기 선도: 이득(Gain)을 데시벨(dB, 20\log|H(j\omega)|) 단위로 표시한다.

⦁위상 선도: 위상각을 도(degree) 단위로 표시한다.

⦁해석: 극점(Pole)과 영점(Zero)의 위치에 따라 그래프의 기울기가 변한다. 극점 하나당 -20dB/decade의 기울기 변화가 생긴다.

6. 스케일링 (Scaling)

회로를 설계할 때 계산의 편의를 위해 소자 값을 조정한 후, 실제 필요한 값으로 변환하는 기법이다.

⦁크기 스케일링 (k_m): 임피던스의 크기를 조정한다 (R' = k_m R, L' = k_m L, C' = C/k_m).

⦁주파수 스케일링 (k_f): 동작 주파수를 조정한다 (R' = R, L' = L/k_f, C' = C/k_f).