I. 직사각형 영역에서 이중적분의 정의 및 계산
곡선 아래의 넓이를 구했던 단일적분(정적분)의 정의와 동일한 방법으로, 곡면 아래의 부피를 구하는 이중적분 (Double Integral)를 정의한다.
1. 이중적분의 정의 및 해석: 이중적분은 폐직사각형 영역 R을 작은 부분 사각형 R_{ij}로 나눈 후, 각 부분 사각형의 넓이 ΔA와 함수값 f({x_{ij}}^∗, {y_{ij}}^∗)의 곱을 더한 이중 리만 합 (Double Riemann Sum)의 극한으로 정의된다.
\displaystyle\iint_Rf(x,y)dA=\displaystyle\lim\limits_{m,n→∞}\displaystyle\sum_{i=1}^m\displaystyle\sum_{j=1}^nf({x_{ij}}^*, {y_{ij}}^∗)ΔA
만약 f(x,y)≥0이면, 이 이중적분 값은 직사각형 R의 위와 곡면 z=f(x,y) 아래에 놓인 입체의 부피 (Volume) V를 나타낸다. 만약 f(x,y)가 양수와 음수의 값을 모두 가지면, 적분 값은 xy 평면 위쪽 부피와 아래쪽 부피의 차이(V_1−V_2)를 나타낸다.
2. 푸비니 정리와 반복적분: 이중적분의 정의를 이용한 직접 계산은 어렵기 때문에, 푸비니 정리 (Fubini's Theorem)는 이중적분을 두 개의 반복적분 (Iterated Integral)로 나타내어 계산할 수 있는 실질적인 방법을 제공한다. 직사각형 영역 R=[a,b]×[c,d]에서 함수 f가 연속이면, 적분 순서와 관계없이 다음이 성립한다: \displaystyle\iint_Rf(x,y)dA=\displaystyle\int_a^b\bigg[\displaystyle\int_c^d f(x,y)dy\bigg]dx=\displaystyle\int_c^d\bigg[ \displaystyle\int_a^bf(x,y)dx \bigg]dy 특히 f(x,y)가 f(x,y)=g(x)h(y)와 같이 x만의 함수와 y만의 함수의 곱으로 인수분해되면, 이중적분은 두 단일적분의 곱으로 단순화될 수 있다.
3. 근사 및 평균값: 단일적분과 마찬가지로, 이중적분 값을 근사시키기 위해 각 부분 사각형의 중점 (\bar{x_i}, \bar{y_j})을 표본점으로 선택하는 중점법칙 (Midpoint Rule)가 적용된다. 또한 직사각형 R 위에서 함수 f의 평균값 (Average Value) f_{avg}는 f_{avg}=\dfrac{1}{A(R)}\displaystyle\iint_Rf(x,y)dA로 정의된다.
II. 일반적인 영역에서 이중적분 및 적분 순서 변경
이중적분은 직사각형 영역뿐만 아니라 임의의 유계 영역 (Bounded Region) D로 확장된다.
1. 일반 영역의 정의: 일반적인 영역 D에서 f를 적분하기 위해, D를 포함하는 직사각형 R에 대해 새로운 함수 F를 정의한다 (D 위에서는 F=f, D 밖에서는 F=0).
2. 유형 I 및 유형 II 영역: 계산을 위해 영역 D를 적분 한계가 함수로 주어지는 두 가지 유형으로 분류한다:
◦ 유형 I (Type I): a≤x≤b 이고 g_1(x)≤y≤g_2(x) 인 영역. 적분은 \displaystyle\iint_Df(x, y)dA=\displaystyle\int_a^b\displaystyle\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x, y)dydx로 계산된다.
◦ 유형 II (Type II): c≤y≤d 이고 h_1(y)≤x≤h_2(y) 인 영역. 적분은 \displaystyle\iint_Df(x, y)dA=\displaystyle\int_c^d\displaystyle\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x, y)dxdy로 계산된다.
3. 적분 순서 변경: 푸비니 정리는 적분 순서를 바꾸는 것이 항상 가능함을 보장하지만, 일반 영역 D의 경우에는 적분 순서를 바꾸기 위해 적분 한계를 새롭게 설정해야 한다. 이는 계산이 불가능하거나 복잡한 적분을 단순화하는 데 필수적이다 (예: \displaystyle\int_0^1\displaystyle\int_x^1\sin(y^2)dydx 계산)
4. 적분의 성질: 일반 영역에서도 이중적분은 선형성, 비교 성질, 영역 분할 성질 등을 만족한다. 특히 \displaystyle\iint_D1dA=A(D)는 이중적분을 이용하여 영역 D의 넓이를 계산할 수 있음을 보여준다.
III. 극좌표에서 이중적분
영역 D가 원 또는 원의 일부분과 같이 극좌표로 표현하기 쉬울 경우, 이중적분을 극좌표로 변환하여 계산하는 것이 유리하다.
1. 좌표 변환: 직교좌표 x,y는 x=r\cosθ,y=r\sinθ로 변환된다.
2. 적분 요소의 변환: 직교좌표의 넓이 요소 dA=dxdy는 극좌표에서 dA=rdrdθ 로 변환된다. 이는 작은 극사각형의 넓이가 rΔrΔθ 임을 근사하여 얻어진 결과이며, 부가적인 인수 r를 포함하는 것이 핵심이다.
3. 극좌표 공식: 극사각형 영역 R에서 이중적분은 다음과 같이 변환된다: \displaystyle\iint_Rf(x,y)dA=\displaystyle\int_α^β\displaystyle\int_a^bf(r\cosθ,r\sinθ)rdrdθ 이 공식은 더 복잡한 극영역 D=\{(r,θ)∣α≤θ≤β,h_1(θ)≤r≤h_2(θ)\}로도 확장되어 적용된다.
IV. 이중적분의 응용 및 곡면 넓이
이중적분은 부피 계산 외에도 얇은 평판의 물리적 특성을 분석하거나 곡면의 넓이를 계산하는 데 사용된다.
1. 질량과 질량 중심: 영역 D를 차지하고 밀도함수(단위 넓이당 질량)가 ρ(x,y)인 얇은 판의 총 질량 m는 m=\displaystyle\iint_Dρ(x,y)dA로 정의된다. x축과 y축에 대한 모멘트 M_x와 M_y를 이용하여 질량 중심 (\bar{x}, \bar{y})를 계산한다.
2. 관성 모멘트 (Moment of Inertia): x축에 대한 관성 모멘트 I _x=\displaystyle\iint_Dy^2ρ(x,y)dA, y축에 대한 관성 모멘트 I_y=\displaystyle\iint_Dx^2ρ(x,y)dA로 정의되며, I_0=I_x+I_y는 원점에 대한 극 관성 모멘트이다.
3. 확률: 두 연속 확률 변수 X,Y의 결합 밀도 함수 f(x,y)가 주어질 때, (X,Y)가 영역 D에 놓일 확률 P((X,Y)∈D)는 \displaystyle\iint_Df(x,y)dA로 계산된다. 또한, X와 Y의 기댓값 (Expected Value) μ_1, μ_2를 모멘트 공식과 유사한 이중적분으로 정의한다.
4. 곡면 넓이 (Surface Area): 방정식 z=f(x,y)인 곡면 S가 xy 평면의 영역 D 위에 놓여 있을 때, 곡면의 넓이 A(S)는 편도함수를 포함하는 이중적분으로 계산된다: A(S)=\displaystyle\iint_D\sqrt{1+\bigg(\dfrac{∂z}{∂x}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{∂z}{∂y}\bigg)^2}dA
V. 삼중적분과 새로운 좌표계
이변수함수의 이중적분을 3차원 입체 영역 E 위의 삼변수함수 f(x,y,z)에 대한 삼중적분 (Triple Integral)로 확장한다.
1. 삼중적분의 정의 및 계산: 직육면체 B에 대한 삼중적분은 삼중 리만 합 (Triple Riemann Sum)의 극한으로 정의되며, 푸비니 정리를 통해 여섯 가지 순서의 반복적분으로 계산될 수 있다. \displaystyle\iiint_Ef(x, y, z)dV는 함수 f가 1일 때 입체 E의 부피 V(E)를 나타낸다.
2. 일반 영역 E에서의 삼중적분: 입체 영역 E를 xy 평면 위로의 사영 D를 갖는 유형 1 영역으로 표현할 때, 삼중적분은 다음과 같이 계산된다: \displaystyle\iiint_Ef(x,y,z)dV=\displaystyle\iint_D\bigg[\displaystyle\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)}f(x,y,z)dz\bigg]dA
여기서 안쪽 적분은 z에 대한 단일적분이며, 그 결과는 이중적분으로 계산된다. 삼중적분 역시 밀도함수 ρ(x,y,z)를 통해 입체의 질량, 모멘트 및 질량 중심을 계산하는 데 사용된다.
3. 원기둥좌표 (Cylindrical Coordinates): z축에 대칭인 영역에서 삼중적분을 단순화하기 위해 원기둥좌표 (r,θ,z)가 도입된다. 변환 공식은 x=r\cosθ,y=r\sinθ,z=z이며, 부피 요소 dV는 rdzdrdθ로 변환된다.
4. 구면좌표 (Spherical Coordinates): 원점 대칭인 영역(구면, 원뿔면)에서 유용한 구면좌표 (ρ,θ,ϕ)가 도입된다. 여기서 ρ는 원점으로부터의 거리, ϕ는 양의 z축으로부터의 각도이다. 변환 공식은 x=ρ\sinϕ\cosθ,y=ρ\sinϕ\sinθ,z=ρ\cosϕ이며, 부피 요소 dV는 ρ^2\sinϕdρdθdϕ 로 변환된다.
VI. 다중적분에서 변수변환
이중적분과 삼중적분에서 계산을 단순화하기 위해 좌표를 일반적인 형태로 변환하는 방법을 일반화한다.
1. 야코비안 (Jacobian): 변환 T(u,v)=(x,y)가 주어졌을 때, 변환에 의해 넓이 요소 dA=dxdy가 얼마나 확대되거나 축소되는지를 측정하는 야코비안 \dfrac{∂(x,y)}{∂(u,v)}가 행렬식으로 정의된다.
2. 변수변환 정리: 이중적분은 야코비안의 절댓값을 스케일링 인수로 사용하여 다음과 같이 변환된다: \displaystyle\iint_R f(x,y)dA=\displaystyle\iint_Sf(x(u,v),y(u,v))\bigg\vert\dfrac{∂(x,y)}{∂(u,v)}\bigg\vert dudv
이는 dA를 \bigg\vert\dfrac{∂(x,y)}{∂(u,v)}\bigg\vert dudv로 대체함을 의미하며, 극좌표 변환에서 야코비안이 r임을 보임으로써 이전의 규칙(dA=rdrdθ)이 이 일반 정리의 특별한 경우임을 확인한다. 이 개념은 삼중적분에서도 3x3 야코비안을 사용하여 dV를 변환하는 것으로 확장된다.