I. 다변수함수의 정의 및 시각화 (Functions of Several Variables)
이변수함수 f(x,y)를 정의하고, 그 정의역(Domain) D와 치역(Range)을 구하는 것에서 시작한다. 이변수함수는 z=f(x,y)로 표기되며, x와 y는 독립변수(independent variables)이고 z는 종속변수(dependent variable)이다.
다변수함수를 이해하는 네 가지 주요 관점(언어, 수치, 대수, 시각)은 다음과 같다. 특히 함수를 시각화하는 방법이 중요하다.
1. 그래프 (Graph): 이변수함수 f의 그래프는 \R^3공간에서 z=f(x,y)인 곡면(Surface) S를 나타낸다. (예: f(x,y)=ax+by+c 형태의 선형함수는 평면을 나타내며, 미분적분학에서 중추적인 역할을 한다.)
2. 등위곡선 및 등고선도 (Level Curves and Contour Maps): 등위곡선은 방정식 f(x,y)=k (k는 상수)인 곡선이며, 함수의 그래프를 높이 k인 수평면으로 잘라 xy 평면에 투영한 자취이다. 등위곡선들의 무리를 등고선도라 부르며, 이를 통해 곡면의 형태와 경사도를 시각화한다 (등위곡선이 가까울수록 곡면은 가파르다). 삼변수함수 f(x,y,z)의 경우 4차원 공간에 있으므로 그래프로 시각화하기 어렵지만, 상수 k에 대해 f(x,y,z)=k로 정의되는 등위곡면(Level Surface)를 조사하여 함수를 이해할 수 있다.
II. 극한과 연속 (Limits and Continuity)
일변수함수의 개념을 \R^2로 확장하면서, 극한의 개념이 복잡해진다.
1. 극한의 정의와 경로 문제: 이변수함수 f(x,y)의 극한 \displaystyle\lim\limits_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=L 은 점 (x,y)가 정의역 안의 임의의 경로를 따라 (a,b)에 가까워질 때 f(x,y)의 값이 수 L에 가까워져야 함을 의미한다.
2. 극한의 비존재 증명: \R^2에서는 (a,b)로 접근하는 무수히 많은 경로가 존재한다. 만약 (a,b)로 접근하는 서로 다른 두 경로를 찾아 f(x,y)가 다른 극한값을 가짐을 보인다면, 주어진 극한은 존재하지 않는다. (예: x축을 따라 접근할 때와 y축을 따라 접근할 때의 극한값 비교).
3. 극한 법칙과 연속성: 일변수함수의 극한 성질(합, 차, 곱, 몫 법칙)은 이변수함수로 확장되며, 다항함수와 유리함수의 극한은 직접 대입하여 쉽게 계산할 수 있다.
4. 연속의 정의: 함수 f가 (a,b)에서 연속이라는 것은 \displaystyle\lim\limits_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=f(a,b)가 성립하는 것이다. 연속함수의 그래프인 곡면은 구멍이나 갈라진 틈이 없다.
III. 편도함수의 정의와 계산 (Partial Derivatives)
편도함수는 다변수함수의 미분을 정의하는 핵심 개념이다.
1. 편도함수의 정의: f_x(a,b)는 y를 상수 b로 고정하고 x에 대해서만 함수를 미분하여 (a,b)에서의 변화율을 측정하는 것이다. 이는 x축 방향(단위벡터 i 방향)으로의 변화율을 나타낸다.
f_x(a,b)=\displaystyle\lim\limits_{h→0}\dfrac{f(a+h,b)−f(a,b)}{h}
2. 계산 규칙: \dfrac{∂z}{∂x}를 구할 때는 y를 상수로 보고 x에 관해 미분하고, \dfrac{∂z}{∂y}를 구할 때는 x를 상수로 보고 y에 관해 미분한다.
3. 기하학적 해석: 편도함수 f_x(a,b)는 곡면 S를 수직 평면 y=b로 잘랐을 때 생기는 곡선 C_1에 대한 점 P(a,b,c)에서의 접선의 기울기로 해석된다.
4. 고계 편도함수: 편도함수를 다시 편미분하여 2계 편도함수(예: f_{xx},f_{xy})를 정의한다.
5. 클레로의 정리 (Clairaut's Theorem): 함수 f_{xy}와 f_{yx}가 연속이면, 미분 순서와 상관없이 두 편도함수는 같다: f_{xy}=f_{yx}
6. 음함수 미분법 (Implicit Differentiation): F(x,y,z)=0과 같이 z가 x,y의 음함수로 정의될 때, \dfrac{∂z}{∂x}=-\dfrac{F_x}{F_z} 공식 등을 사용하여 편도함수를 구한다.
7. 편미분방정식 (Partial Differential Equations, PDEs): 편도함수는 라플라스 방정식(\dfrac{∂^2u}{∂x^2}+\dfrac{∂^2u}{∂y^2}=0)이나 파동방정식과 같은 물리 법칙을 설명하는 데 사용된다.
IV. 접평면, 선형근사 및 미분 (Tangent Planes and Approximations)
1. 접평면의 방정식: 미분가능한 함수 z=f(x,y)의 그래프(곡면 S)에 대한 점 P(x_0, y_0, z_0)에서의 접평면은 접선 T_1과 T_2를 모두 포함하는 평면으로 정의된다. 이 방정식은 다음과 같다: z−z_0=f_x(x_0, y_0)(x−x_0)+f_y(x_0, y_0)(y−y_0)
2. 선형근사 (Linear Approximation): 접평면의 방정식으로 정의되는 선형함수 L(x,y)는 점 (a,b) 부근에서 f(x,y)를 가장 가깝게 근사하는 함수이다. 이 근사식을 접평면 근사라고도 한다.
3. 미분가능성 (Differentiability): f_x와 f_y가 (a,b) 부근에서 존재하고 (a,b)에서 연속이면, f는 (a,b)에서 미분가능하다.
4. 전미분 (Total Differential, dz): dz=\dfrac{∂z}{∂x}dx+\dfrac{∂z}{∂y}dy로 정의되며, dz는 Δz(곡면의 실제 높이 변화)의 근삿값으로 사용되어 측정 오차 등을 추정하는 데 유용하다.
V. 연쇄 법칙 (Chain Rule)
연쇄 법칙은 중간 변수를 포함하는 합성 함수의 도함수를 구하기 위해 다변수함수로 확장된다.
1. 연쇄 법칙 (경우 1): z=f(x,y)이고 x,y가 t의 함수일 때, z는 간접적으로 t의 함수이다.
\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{∂z}{∂x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{∂z}{∂y}\dfrac{dy}{dt} 이는 z가 t에 관해 변하는 변화율을 구하는 공식이다.
2. 연쇄 법칙 (경우 2): z=f(x,y)이고 x,y가 s,t의 함수일 때, \dfrac{∂z}{∂s}=\dfrac{∂z}{∂x}\dfrac{∂x}{∂s}+\dfrac{∂z}{∂y}\dfrac{∂y}{∂s}로 편도함수를 구한다. 수형도(tree diagram)를 이용하여 공식을 기억할 수 있다.
3. 일반 형태: 종속변수 u가 n개의 중간변수에 의존하고, 각 중간변수가 m개의 독립변수에 의존하는 경우로 일반화된다.
VI. 방향도함수와 기울기 벡터 (Directional Derivatives and Gradient Vectors)
편도함수가 x축과 y축 방향의 변화율만을 나타낸다면, 이 섹션은 임의의 방향으로의 변화율을 측정한다.
1. 방향도함수 (Directional Derivative, D_uf): 단위벡터 u=⟨a,b⟩ 방향으로의 f의 변화율로 정의된다. D_uf(x,y)=f_xa+f_yb 공식으로 계산된다.
2. 기울기 벡터 (Gradient Vector, ∇f): D_uf 공식에서 추출된 벡터 ∇f(x,y)=⟨f_x, f_y⟩ 를 기울기 벡터라고 하며, D_uf=∇f⋅u 로 표현된다.
3. 기울기 벡터의 성질 (가장 중요한 이론):
◦ ∇f는 f가 가장 빠르게 증가하는 방향을 나타낸다.
◦ 최대 증가율의 크기는 \vert∇f\vert 이다.
◦ ∇f는 점 x를 통과하는 f의 등위곡선(이변수) 또는 등위곡면(삼변수)에 수직(Orthogonal)이다.
4. 등위곡면에 대한 접평면: 삼변수함수 F(x,y,z)=k의 등위곡면 S에 대해, 기울기 벡터 ∇F(x_0, y_0, z_0)는 P(x_0, y_0, z_0)에서의 법선벡터 (Normal Vector) 역할을 하며, 이를 이용하여 접평면의 방정식을 세울 수 있다.
VII. 최댓값과 최솟값 (Maximum and Minimum Values)
최적화 개념을 이변수함수로 확장한다.
1. 임계점 (Critical Point): f_x(a,b)=0이고 f_y(a,b)=0이거나 편도함수가 존재하지 않는 점을 임계점이라고 한다. 극값은 임계점에서 발생한다.
2. 안장점 (Saddle Point): 임계점에서 극댓값이나 극솟값이 아닌 경우를 안장점이라 한다.
3. 2계 도함수 판정법 (Second Derivative Test): 임계점 (a,b)에서의 극값 종류를 판정하기 위해 판별식 D(a,b)=f_{xx}f_{yy}−(f_{xy})^2를 사용한다.
◦ D>0이고 f_{xx} >0 이면 극솟값이다.
◦ D>0이고 f_{xx} <0 이면 극댓값이다.
◦ D<0 이면 안장점이다.
4. 극값 정리: 함수 f가 \R^2안의 유계인 폐집합 D에서 연속이면, f는 최댓값과 최솟값을 가진다. 이 극값들은 (1) D 내부의 임계점 또는 (2) D의 경계에서 발생한다.
VIII. 라그랑주 승수 (Lagrange Multipliers)
주어진 제약 조건(Constraint) 하에서 함수를 최적화하는 방법을 다룬다.
1. 라그랑주 승수법 (Lagrange Multiplier Method): 제약 조건 g(x,y,z)=k를 만족하는 함수 f(x,y,z)의 최댓값과 최솟값을 구한다.
2. 핵심 원리: 극값을 갖는 지점에서 함수 f의 기울기 벡터 ∇f는 제약 함수 g의 기울기 벡터 ∇g와 평행하다.
3. 라그랑주 조건: ∇f(x,y,z)=λ∇g(x,y,z)와 제약 조건 g(x,y,z)=k를 동시에 만족하는 (x,y,z,λ)를 찾는다.
4. 두 가지 제약 조건: 제약 조건이 g(x,y,z)=k와 h(x,y,z)=c 두 개인 경우, 라그랑주 승수 λ와 μ를 사용하여 ∇f=λ∇g+μ∇h 를 만족하는 해를 구한다.