I. 벡터장 (Vector Fields)
벡터해석의 기본 도구인 벡터장을 정의하고 그 종류와 시각적 해석을 다룬다.
1. 벡터장의 정의: 벡터장 F는 공간 안의 각 점 (x,y) (평면 \R^2) 또는 (x,y,z) (공간 \R^3)에 벡터 F(x,y) 또는 F(x,y,z)를 대응시키는 함수이다. \R^2에서의 벡터장 F는 성분 함수 P,Q를 사용하여 F=Pi+Qj로 표현되며, \R^3에서는 F=Pi+Qj+Rk로 표현된다.
2. 벡터장의 예시 (물리적 해석): 벡터장은 중력, 전기장, 자기장과 같은 힘장(Force Field)이나, 유체의 흐름, 바람의 속도를 나타내는 속도장(Velocity Field)을 모형화하는 데 사용될 수 있다.
3. 기울기 벡터장 (Gradient Vector Field): 스칼라 함수 f(x,y)의 기울기 ∇f=f_xi+f_yj는 \R^2에서의 벡터장이며, 이를 기울기 벡터장이라고 한다. 기울기 벡터 ∇f는 등위곡선에 수직 (Orthogonal)이다.
4. 보존적 벡터장 (Conservative Vector Field) 및 퍼텐셜 함수 (Potential Function): 벡터장 F가 어떤 스칼라 함수 f의 기울기 F=∇f 를 만족할 때, F를 보존적 벡터장이라 하고, f를 F에 대한 퍼텐셜 함수라고 한다. 중력장과 전기장은 보존적 벡터장의 예시이다.
II. 선적분 (Line Integrals)
선4적분은 곡선 C를 따라 수행되는 적분으로, 단일적분의 개념을 곡선 위로 확장한 것이다.
1. 스칼라 함수의 선적분 (호의 길이에 관한 선적분): 곡선 C 위에서 정의된 스칼라 함수 f(x,y)의 선적분 \displaystyle\int_Cf(x,y)ds %는 부분 호의 길이 Δs_i와 함수값 f({x_i}^∗, {y_j}^*)의 곱을 더한 리만 합의 극한으로 정의된다.
2. 계산 공식: 곡선 C가 벡터함수 r(t)=x(t)i+y(t)j 로 주어질 때, 선적분은 r(t)의 속력 \vert r'(t)\vert=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}
를 이용하여 단일적분으로 변환되어 계산된다: \displaystyle\int_Cf(x,y)ds=\displaystyle\int_a^bf(x(t),y(t))\vert r'(t)\vert dt
3. 물리적 해석 (질량): 밀도 함수 ρ(x,y)가 곡선 C 모양의 얇은 전선의 선밀도를 나타낼 때, \displaystyle\int_Cρ(x,y)ds는 전선의 총 질량 (Mass) m을 나타낸다.
4. x 또는 y에 관한 선적분: Δs_i 대신 Δx_i 또는 Δy_i를 사용하여 \displaystyle\int_Cf(x,y)dx 나 \displaystyle\int_Cf(x,y)dy와 같은 다른 유형의 선적분을 정의하며, 이들은 \displaystyle\int_CPdx+Qdy 형태로 자주 나타난다.
5. 벡터장의 선적분 (일, Work): 힘장 F가 매끄러운 곡선 C를 따라 입자를 움직이는 데 한 일 W은 힘 F의 단위 접선 성분 T에 대한 선적분으로 정의된다: W=\displaystyle\int_CF⋅Tds=\displaystyle\int_CF⋅dr
\displaystyle\int_CF⋅dr는 유량 적분 (Flux Integral)라고도 하며, 다음과 같이 계산된다: \displaystyle\int_CF⋅dr=\displaystyle\int_a^bF(r(t))⋅r'(t)dt
III. 선적분의 기본 정리 및 경로 독립성
보존적 벡터장의 선적분 계산을 단순화하는 핵심 정리를 다룬다.
1. 선적분의 기본 정리 (Fundamental Theorem for Line Integrals): F=∇f (보존적 벡터장)인 경우, 곡선 C를 따른 F의 선적분은 곡선의 시점 r(a)과 종점 r(b)에서의 퍼텐셜 함수f의 값에만 의존하고, 경과된 경로 자체에는 의존하지 않는다.
\displaystyle\int_C∇f⋅dr=f(r(b))−f(r(a))
2. 경로의 독립성 (Independence of Path): \displaystyle\int_CF⋅dr 가 경로에 독립이기 위한 필요충분조건은 F가 보존적 벡터장 (F=∇f)인 것이다.
3. 닫힌 곡선 조건: \displaystyle\int_CF⋅dr가 경로에 독립이기 위한 또 다른 필요충분조건은 임의의 닫힌 경로 (Closed Curve) C에 대해 \displaystyle\oint_CF⋅dr=0인 것이다. 물리적으로 보존력장 (Gravitational Field, Electric Field)가 닫힌 경로를 따라 물체를 움직이는 데 한 일은 0이다.
4. 보존성 판정법: F(x,y)=Pi+Qj가 보존적 벡터장이고 P,Q가 연속인 1계 편도함수를 가지면, \dfrac{∂P}{∂y}=\dfrac{∂Q}{∂x}가 성립해야 한다. 열린 단순연결영역 D에서는 이 역도 성립한다.
IV. 그린 정리 (Green's Theorem)
그린 정리는 평면에서 선적분과 그 곡선으로 둘러싸인 영역에서의 이중적분 사이의 관계를 확립하는 미적분학 기본 정리의 고차원 형태이다.
1. 정의: 평면 영역 D의 경계 곡선 C가 양의 방향(반시계 방향)을 가질 때, 다음 관계가 성립한다:
\displaystyle\oint_CPdx+Qdy=\displaystyle\iint_D\bigg(\dfrac{∂Q}{∂x}−\dfrac{∂P}{∂y}\bigg)dA
2. 적용: 그린 정리는 선적분이 이중적분보다 계산이 쉬울 때나 그 반대의 경우에 유용하게 사용되며, 특히 \dfrac{∂Q}{∂x}−\dfrac{∂P}{∂y}=1을 만족하는 P,Q를 선택하여 닫힌 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 A를 계산하는 데 사용될 수 있다: A=\dfrac{1}{2}\displaystyle\oint_Cxdy−ydx
3. 벡터 형식 (회전 및 발산): 그린 정리는 회전 (Curl)와 발산 (Divergence)를 사용하여 두 가지 벡터 형식으로 표현될 수 있다:
◦ 접선 성분 형식 (회전): \displaystyle\oint_CF⋅dr=\displaystyle\iint_D(curlF)⋅kdA
◦ 법선 성분 형식 (발산): \displaystyle\oint_CF⋅nds=\displaystyle\iint_DdivFdA
V. 회전과 발산 (Curl and Divergence)
1. 회전 (Curl, curlF): \R^3 벡터장 F=Pi+Qj+Rk의 회전은 벡터이며, 기울기 연산자 ∇와 F의 외적으로 정의된다: curlF=∇×F=\bigg(\dfrac{∂R}{∂y}−\dfrac{∂Q}{∂z}\bigg)i+\bigg(\dfrac{∂P}{∂z}−\dfrac{∂R}{∂x}\bigg)j+\bigg(\dfrac{∂Q}{∂x}−\dfrac{∂P}{∂y}\bigg)k
◦ 물리적 해석: curlF는 유체의 흐름에서 회전 효과 (Rotation Effect)를 측정하며, curlF=0이면 비회전적 (Irrotational)라고 한다.
◦ 보존성 판정: F가 보존적 벡터장이면 curl(∇f)=0이 성립한다. \R^3 전체에서 curlF=0 이면 F는 보존적 벡터장이다.
2. 발산 (Divergence, divF): F의 발산은 스칼라 함수이며, ∇와 F의 내적으로 정의된다: divF=∇⋅F=\dfrac{∂P}{∂x}+\dfrac{∂Q}{∂y}+\dfrac{∂R}{∂z}
◦ 물리적 해석: divF는 점 (x,y,z)로부터의 유체(또는 가스)의 순 변화율, 즉 유체가 발산하는 경향을 측정한다. divF=0이면 비압축적 (Incompressible)라고 한다.
◦ 라플라스 연산자: div(∇f)=\dfrac{∂^2f}{∂x^2}+\dfrac{∂^2f}{∂y^2}+\dfrac{∂^2f}{∂z^2} 은 라플라스 연산자 ∇^2f로 표기되며, ∇^2f=0이면 라플라스 방정식 (Laplace's Equation)라 한다.
◦ 항등식: div(curlF)=0이 항상 성립한다.
VI. 매개곡면과 그 넓이 (Parametric Surfaces and Their Areas)
곡면을 표현하는 새로운 방식인 매개곡면을 정의하고 그 넓이를 구하는 방법을 확장한다.
1. 매개곡면의 정의: 두 매개변수 u,v의 벡터함수 r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k로 정의된 \R^3의 점 (x,y,z)의 집합을 매개곡면 (Parametric Surface) S라고 한다.
2. 접평면: 매개곡면 위의 점 P_0에서 접선벡터 r_u와 r_v의 외적 r_u×r_v는 접평면의 법선벡터 (Normal Vector)가 된다.
3. 곡면 넓이: 매끄러운 매개곡면 S의 넓이 A(S)는 법선벡터의 크기를 매개변수 정의역 D 위에서 이중적분하여 계산한다: A(S)=\displaystyle\iint_D\vert r_u×r_v\vert dA
◦ 함수 그래프 z=f(x,y)의 경우, 넓이 공식은 \displaystyle\iint_D\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}dA 로 단순화된다.
VII. 면적분 (Surface Integrals)
면적분은 곡면 S를 따라 스칼라 함수나 벡터장을 적분하는 것이다.
1. 스칼라 함수의 면적분: 곡면 S 위에서 스칼라 함수 f(x,y,z)의 면적분 \displaystyle\iint_Sf(x,y,z)dS는 다음 공식으로 계산되며, \displaystyle\iint_S1dS=A(S)는 곡면 넓이와 같다: \displaystyle\iint_Sf(x,y,z)dS=\displaystyle\iint_Df(r(u,v))\vert r_u×r_v\vert dA
◦ 물리적 해석: 밀도 함수 ρ(x,y,z)에 대한 면적분 \displaystyle\iint_Sρ(x,y,z)dS는 곡면 모양의 얇은 판의 총 질량 (Mass)를 나타낸다.
2. 벡터장의 면적분 (유량, Flux): 유향곡면 S 위에서 벡터장 F의 면적분 \displaystyle\iint_SF⋅dS는 S를 통과하는 F의 유량 (Flux)라 불리며, 이는 F의 단위 법선 성분 n에 대한 면적분과 같다: \displaystyle\iint_SF⋅dS=\displaystyle\iint_SF⋅ndS
◦ 계산: 곡면이 r(u,v)로 주어질 때 n=\dfrac{r_u×r_v}{\vert r_u×r_v\vert}를 대입하여 다음 공식으로 계산한다: \displaystyle\iint_SF⋅dS=\displaystyle\iint_DF(r(u,v))⋅(r_u×r_v)dA
◦ 물리적 해석: 유체의 속도장 v에 대한 유량 \displaystyle\iint_Sρv⋅ndS는 S를 통과하는 단위 시간당 유체의 질량 (흐름률)를 나타낸다. 또한 전기장 E에 대한 유량은 전기 선속 (Electric Flux)라 한다.
VIII. 미분적분학의 고차원 기본 정리 (High-Dimensional Fundamental Theorems)
미분적분학의 기본 정리를 3차원 공간의 선적분과 면적분으로 확장하는 두 가지 주요 정리로 절정을 이룬다.
1. 스토크스 정리 (Stokes' Theorem): 스토크스 정리는 곡면 S 위에서의 curlF의 면적분을 S의 경계 곡선 C 주위에서의 F의 선적분과 연결한다. 이는 그린 정리의 3차원 확장으로 간주된다: \displaystyle\oint_CF⋅dr=\displaystyle\iint_ScurlF⋅dS
◦ F의 접선 성분 \displaystyle\int_CF⋅Tds의 선적분은 curlF의 법선 성분 \displaystyle\iint_ScurlF⋅ndS의 면적분과 같다.
2. 발산 정리 (Divergence Theorem): 발산 정리는 입체 영역 E 위에서의 divF의 삼중적분을 E의 경계 곡면 S를 통과하는 F의 유량(면적분)와 연결한다. 이는 그린 정리의 법선 성분 벡터 형식의 3차원 확장으로 간주된다:
\displaystyle\iint_SF⋅dS=\displaystyle\iiint_E divFdV
◦ F의 법선 성분 \displaystyle\iint_SF⋅ndS의 면적분은 divF의 삼중적분과 같다.
◦ 물리적 해석: divF(P)는 점 P에서 단위 부피당 유체가 발산 (Diverge)하는 순 흐름률을 나타낸다. 발산 정리는 영역 E의 경계를 가로지르는 전체 순 유량이 E 내부의 발산 총량과 같음을 의미한다.