I. 벡터함수와 공간곡선 (Vector Functions and Space Curves)
1. 벡터함수의 정의: 벡터함수 r은 정의역이 실수의 집합이고, 치역이 3차원 벡터 V^3의 집합인 함수이다. 벡터 r(t)는 세 개의 성분 함수 (Component Functions) f(t),g(t),h(t)를 가지며, r(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩ 또는 r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k로 쓸 수 있다. 독립변수 t는 벡터함수의 활용에서 대부분 시간을 나타낸다. 벡터함수의 정의역은 모든 성분 함수가 정의되는 t의 값들로 이루어진다.
2. 극한과 연속성: 벡터함수의 극한 \displaystyle\lim\limits_{t→a}r(t)은 각 성분 함수의 극한을 취함으로써 정의된다. 벡터함수 r이 a에서 연속 (Continuous)기 위한 필요충분조건은 \displaystyle\lim\limits_{t→a}r(t)=r(a)를 만족하는 것이며, 이는 그의 성분 함수 f,g,h가 모두 a에서 연속인 경우와 동치이다.
3. 공간곡선 (Space Curves): 연속인 벡터함수 r(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩는 공간곡선 C를 정의한다. C 위의 점 (x,y,z)는 매개변수 t에 대한 방정식 x=f(t),y=g(t),z=h(t)를 만족한다. 벡터 r(t)는 C 위의 점 P(f(t),g(t),h(t))의 위치벡터이며, 곡선 C는 움직이는 위치벡터 r(t)의 종점이 그리는 궤적이다.
4. 곡선 표현 예시: 직선은 r(t)=r_0+tv, 나선(helix)은 r(t)=\cos ti+\sin tj+tk와 같이 표현될 수 있다. 특히 나선은 원기둥 x^2+y^2=1 위에 놓여 있으며, 이는 DNA 분자의 이중나선 구조에서도 나타난다.
5. 응용 (충돌 문제): 두 물체의 경로가 벡터함수로 주어질 때, 두 물체가 동일 시각에 같은 위치에 있는지를 확인하여 충돌 여부를 조사할 수 있다.
II. 벡터함수의 미분과 적분 (Derivatives and Integrals of Vector Functions)
벡터함수에 대한 미분과 적분은 공간에서 물체의 운동을 설명하기 위한 기초이다.
1. 도함수의 정의: 벡터함수 r의 도함수 r^′(t)는 실숫값 함수와 같은 방식으로 극한으로 정의된다: r^′(t)=\displaystyle\lim\limits_{h→0}\dfrac{r(t+h)−r(t)}{h}
2. 도함수 계산: 도함수는 각 성분 함수를 미분함으로써 편리하게 계산된다: r'(t)=⟨f^′(t), g^′(t), h^′(t)⟩, r^′(t)의 도함수는 2계 도함수 r^{′′}(t)로 정의된다.
3. 접선벡터 (Tangent Vector): r'(t)가 존재하고 r'(t)\ne0이면, 벡터 r'(t)는 곡선 C의 해당 점에서의 접선벡터라 한다. 접선벡터와 방향이 같은 길이가 1인 벡터를 단위접선벡터 T(t)라 하며 T(t)=\dfrac{r'(t)}{\vert r'(t)\vert}이다.
4. 미분 법칙: 벡터함수의 합, 스칼라배, 스칼라 함수와의 곱에 대한 미분 법칙 외에, 내적 공식과 외적 공식이 중요하게 성립한다.
\dfrac{d}{dt}[u(t)⋅v(t)]=u'(t)⋅v(t)+u(t)⋅v'(t)
\dfrac{d}{dt}[u(t)×v(t)]=u'(t)×v(t)+u(t)×v'(t)
5. 일정한 크기의 벡터: 만약 \vert r(t)\vert=c(상수)이면, r'(t)는 모든 t에 대해 위치벡터 r(t)와 직교 (Orthogonal) 한다. 기하학적으로 이는 곡선이 원점 중심의 구면 위에 놓여 있을 때 접선벡터가 항상 위치벡터에 수직임을 의미한다.
6. 벡터 적분: 연속인 벡터함수 r(t)의 정적분 \displaystyle\int_a^br(t)dt은 각 성분 함수를 적분함으로써 계산되며, 그 결과는 벡터이다. 미분적분학의 기본 정리(FTC)는 벡터함수에도 그대로 확장되어 적용된다.
III. 호의 길이와 곡률 (Arc Length and Curvature)
1. 호의 길이: 공간곡선 r(t)의 길이 L은 매개변수 t의 구간 [a,b]에서 속력 \vert r'(t)\vert를 적분하여 계산된다.
L=\displaystyle\int_a^b\vert r'(t)\vert dt
2. 호의 길이 함수: 호의 길이 함수 s(t)=\displaystyle\int_a^t\vert r'(u)\vert du는 r(a)에서 r(t)까지 곡선의 길이를 나타내며, \dfrac{ds}{dt}=\vert r'(t)\vert이 성립한다.
3. 곡률 (Curvature, K): 곡률은 곡선이 얼마나 빠르게 방향을 바꾸는가를 나타내는 척도이다. 곡률은 호의 길이에 대한 단위접선벡터의 변화율의 크기로 정의되어 매개변수화에 독립적이며 K=\vert\dfrac{dT}{ds}\vert이다.
4. 곡률 공식: 곡률은 r'(t)와 r''(t)를 사용하여 보다 편리하게 계산할 수 있다.
K(t)=\dfrac{\vert r'(t)×r''(t)\vert}{\vert r'(t)\vert^3}
5. 단위 법선벡터와 종법선벡터:
◦ 단위법선벡터 (Principal Unit Normal Vector, N): N(t)=\dfrac{T'(t)}{\vert T'(t)\vert} 이는 각 점에서 곡선이 구부러지는 방향을 나타낸다.
◦ 종법선벡터 (Binormal Vector, B): B(t)=T(t)×N(t). T,N,B는 서로 직교하는 벡터의 집합인 TNB 틀 (TNB Frame)를 구성한다.
6. 비틀림율 (Torsion, τ): 비틀림율은 곡선이 접촉평면 (Osculating Plane) 밖으로 얼마나 빠르게 비틀어지는가를 나타내는 척도이다.
IV. 공간에서의 운동: 속도와 가속도 (Motion in Space)
벡터함수의 도함수는 공간에서 움직이는 물체의 운동을 분석하는 데 직접적으로 사용된다.
1. 속도, 속력, 가속도:
◦ 속도벡터 (Velocity Vector): v(t)=r'(t)
◦ 속력 (Speed): 속도벡터의 크기 \vert v(t)\vert=\vert r'(t)\vert=\dfrac{ds}{dt}(시간에 관한 거리의 변화율).
◦ 가속도벡터 (Acceleration Vector): a(t)=v'(t)=r''(t)
2. 포물체 운동: 뉴턴의 운동 제2법칙 F=ma 와 만유인력의 법칙을 이용하여 발사체의 운동을 분석한다. 공기 저항을 무시하고 중력만 작용할 때, 발사체의 위치 벡터는 r(t)=−\dfrac{1}{2}gt^2j+tv_0로 주어지며, 그 경로는 포물선의 일부분이다. 또한, 최대 착탄거리(수평 도달 거리)는 발사 앙각 α=45\degree일 때 발생함을 보이다.
3. 가속도의 접선 및 법선 성분: 가속도 a를 운동 방향(접선 T)과 곡선이 구부러지는 방향(법선 N)의 성분으로 분해하는 것이 유용하다.
◦ 접선 성분 (a_T): a_T=v' 이는 속력의 변화율을 나타내며, a_T=\dfrac{r'(t)⋅r''(t)}{\vert r'(t)\vert}로 계산된다.
◦ 법선 성분 (a_N): a_N=Kv^2 이는 곡률 K와 속력 제곱 v^2의 곱으로, 운동 방향의 변화 (곡선의 굽음 정도)를 유발하며, a_N=\dfrac{\vert r'(t)⋅r''(t)\vert}{\vert r'(t)\vert}로 계산된다.
4. 케플러의 행성운동법칙: 챕터 12의 절정은 벡터함수와 뉴턴의 법칙을 이용해 케플러의 제1법칙 (행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 공전한다)을 유도하는 것이다. 이 증명은 행성의 궤도가 이심률 e를 포함하는 원뿔곡선(Conic Sections)의 극방정식 r=\dfrac{ed}{1+e\cosθ}형태로 표현됨을 보이며, 이심률이 e<1이므로 궤도가 타원임을 확인한다.