I. 3차원 좌표계와 구면 (3D Coordinates and Spheres)
\R^3에서 x,y,z를 포함하는 방정식은 일반적으로 곡면 (Surface)를 나타낸다. 예를 들어, z=3과 같은 하나의 방정식은 xy평면과 평행인 수평 평면을 나타내고, x^2+y^2=1 (z에 대한 제약 없음)은 중심축이 z축인 원기둥 (Cylinder)를 나타낸다.
두 점 P_1(x_1, y_1, z_1)과 P_2(x_2, y_2, z_2) 사이의 거리 공식은 2차원 공식에서 z성분이 추가되어 \vert P_1P_2\vert=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2+(z_2−z_1)^2} 로 확장된다. 이 거리 공식을 이용하여 중심이 C(h,k,l)이고 반지름이 r인 구면의 방정식 (x−h)^2+(y−k)^2+(z−l)^2=r^2이 유도된다.
II. 벡터의 대수적 및 기하학적 분석 (Vector Algebra and Geometry)
1. 벡터 연산: 벡터의 합은 삼각형 법칙 (Triangle Law)나 평행사변형 법칙 (Parallelogram Law)로 작도되며, 벡터 v에 실수 c를 곱하는 스칼라배 (Scalar Multiple)는 벡터의 크기를 \vert c\vert배하고 방향을 유지하거나(c>0) 반대로(c<0) 만든다.
2. 벡터의 성분: 벡터는 대수적으로 성분 a=⟨a_1, a_2, a_3⟩으로 표현되며, 시점 A(x_1, y_1, z_1)에서 종점 B(x_2, y_2, z_2)까지의 벡터는 a=⟨x_2−x_1, y_2−y_1, z_2−z_1⟩ 이다. 벡터의 길이(크기)는 \vert a\vert=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}이다.
3. 표준기저벡터: \R^3에서 특별한 역할을 하는 표준기저벡터 (Standard Basis Vector) i=⟨1,0,0⟩,j=⟨0,1,0⟩,k=⟨0,0,1⟩ 가 정의되며, 모든 벡터 a는 이들의 선형 결합 a=a_1i+a_2j+a_3k로 나타낼 수 있다. 단위벡터 (Unit Vector)는 길이가 1인 벡터이며, 임의의 벡터 a와 방향이 같은 단위벡터는 u=\dfrac{a}{\vert a\vert} 로 구할 수 있다.
4. 응용: 벡터의 합은 물체에 작용하는 합력 (Resultant Force)를 계산하는 데 사용된다.
III. 내적 (Dot Product) 및 사영 (Projection)
내적(Dot Product), 또는 스칼라곱(Scalar Product)는 두 벡터 a,b로부터 스칼라(실수)를 얻는 연산이다: a⋅b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
1. 기하학적 해석: 내적은 두 벡터 사이의 각 θ와 관련된다: a⋅b=\vert a\vert\vert b\vert\cosθ 이 공식을 이용하면 \cosθ=\dfrac{a⋅b}{\vert a\vert\vert b\vert}로 두 벡터 사이의 각을 계산할 수 있다.
2. 직교 조건: 영이 아닌 두 벡터 a와 b는 a⋅b=0일 때 서로 직교 (Orthogonal) 한다.
3. 방향 코사인: 벡터 a가 좌표축의 양의 방향과 이루는 각을 방향각 (α,β,γ)라 하고, 이 각들의 코사인 값 \cosα,\cosβ,\cosγ을 방향코사인 (Direction Cosine)라 한다. 이들은 a 방향의 단위벡터의 성분과 같다.
4. 사영: a 위로 b의 스칼라 사영 (Scalar Projection) comp_ab=\dfrac{a⋅b}{\vert a\vert} 와 a 위로 b의 벡터 사영 (Vector Projection) proj_ab=\bigg(\dfrac{a⋅b}{\vert a\vert^2}\bigg)a 이 정의된다.
5. 응용 (일, Work): 일정한 힘 F이 변위 벡터 D를 유발할 때 한 일 W은 F와 D의 내적으로 계산된다: W=F⋅D
IV. 외적 (Cross Product) (Vector Product)
외적(Cross Product), 또는 벡터곱(Vector Product)는 두 3차원 벡터 a,b에 대해 두 벡터 모두에 수직인 새로운 벡터 a×b를 생성하는 연산이다.
1. 정의 및 계산: 외적은 표준기저벡터 i,j,k를 포함하는 기호적인 3차 행렬식을 이용하여 계산하는 것이 가장 쉽다.
2. 기하학적 성질:
◦ 방향: a×b는 a와 b에 모두 직교하며, 그 방향은 오른손 법칙에 의해 결정된다.
◦ 크기: \vert a×b\vert=\vert a\vert\vert b\vert\sinθ이며, 이 크기는 a와 b로 결정되는 평행사변형의 넓이 (Area)와 같다.
◦ 평행 조건: 두 벡터 a,b가 평행일 필요충분조건은 a×b=0이다.
3. 스칼라 삼중적 (Scalar Triple Product): 곱 a⋅(b×c)는 세 벡터 a,b,c로 결정되는 평행육면체의 부피 (Volume)의 크기 \vert a⋅(b×c)\vert와 같다. 스칼라 삼중적이 0이면 세 벡터는 동일 평면 (Coplanar) 안에 놓이다.
4. 응용 (회전력): 외적은 물리학에서 회전력 (Torque) τ를 정의하는 데 사용된다: τ=r×F (r은 위치벡터, F는 힘).
V. 직선 및 평면의 방정식 (Equations of Lines and Planes)
벡터를 사용하여 3차원 공간에서 직선과 평면을 기술하는 방정식을 세운다.
1. 직선의 방정식: 직선 L은 한 점 P_0(x_0, y_0, z_0)과 방향을 결정하는 평행 벡터 v=⟨a,b,c⟩에 의해 결정된다.
◦ 벡터방정식: r=r_0+tv
◦ 매개변수방정식 (Parametric Equations): x=x_0+at,y=y_0+bt,z=z_0+ct
◦ 대칭방정식 (Symmetric Equations): \dfrac{x−x_0}{a}=\dfrac{y−y_0}{b}=\dfrac{z−z_0}{c} (각 매개변수 t를 소거하여 얻음).
◦ 꼬인 위치의 직선 (Skew Lines): 평행하지도 않고 만나지도 않는 두 직선이다.
2. 평면의 방정식: 평면은 평면 안의 한 점 P_0(x_0, y_0, z_0)과 평면에 수직인 법선벡터 (Normal Vector) n=⟨a,b,c⟩에 의해 결정된다.
◦ 벡터방정식: n⋅(r−r_0)=0
◦ 스칼라방정식: a(x−x_0)+b(y−y_0)+c(z−z_0)=0
◦ 선형방정식: ax+by+cz+d=0
3. 거리 공식: 점 P_1(x_1, y_1,z _1)에서 평면 ax+by+cz+d=0까지의 거리 D는 법선벡터를 이용한 스칼라 사영의 절댓값으로 유도된다: D=\dfrac{\vert ax_1+by_1+cz_1+d\vert}{a^2+b^2+c^2}
VI. 주면과 이차곡면 (Cylinders and Quadric Surfaces)
1. 주면 (Cylinder): 주어진 평면 곡선을 지나고 주어진 직선(모선)과 평행인 모든 직선으로 이루어진 곡면이다. 방정식에 변수 x,y,z 중 하나가 나타나 있지 않으면 (예: z=x^2에 y 없음), 이는 해당 변수가 없는 좌표축과 평행한 모선을 갖는 주면을 나타낸다.
2. 이차곡면 (Quadric Surfaces): 세 변수 x,y,z에 관한 이차방정식의 그래프로, 평면 안의 원뿔곡선(Conic Sections)에 해당하는 3차원 곡면이다. 곡면을 좌표평면에 평행한 평면으로 잘랐을 때 생기는 교선인 자취 (Trace)를 분석하여 그 형태를 파악한다.
◦ 주요 유형: 모든 자취가 타원인 타원면 (Ellipsoid), 수평 자취가 타원이고 수직 자취가 포물선인 타원포물면 (Elliptic Paraboloid), 수평 자취가 쌍곡선이고 수직 자취가 포물선인 쌍곡포물면 (Hyperbolic Paraboloid), 쌍곡선 자취를 가지며 하나의 연속된 면으로 이루어진 일엽쌍곡면 (Hyperboloid of One Sheet) 등이 있다.
3. 응용: 이차곡면은 위성 접시(원형 포물면)나 원자로 냉각탑(일엽 쌍곡면) 등 공학적으로 중요한 구조물의 형태를 설명하는 데 사용된다.