I. 수열 (Sequences)의 정의와 극한
1. 수열의 정의: 수열(Sequence)은 a _1, a_2, a_3, \cdots, a_n,\cdots 와 같이 일정한 순서로 쓰여진 수의 나열로, 정의역이 자연수 전체의 집합(양의 정수들)인 함수로 간주할 수 있다. 3장 8절의 뉴턴 방법이나 2장 1절의 순간 변화율 근사 등 미적분학의 여러 개념에서 수열이 생성된다.
2. 수열의 극한 및 수렴: 수열의 항 a_n이 n이 커짐에 따라 값 L에 접근할 때, \displaystyle\lim\limits_{n→∞}a_n=L이라고 나타내며, 이 극한이 존재하면 수열은 수렴(Converges)하고, 그렇지 않으면 발산(Diverges)한다고 한다.
3. 극한의 엄밀한 정의: 극한 L의 엄밀한 정의(ϵ−δ 정의)는 임의의 ϵ>0에 대해, n>N일 때 \vert a_n−L\vert <ϵ을 만족하는 정수 N이 존재함을 의미한다.
4. 수렴하는 수열의 성질 및 판정: 극한의 성질은 함수의 극한과 유사하며, 합, 차, 상수배, 곱, 몫에 대한 극한 법칙이 성립한다. 또한, 압축 정리 (Squeeze Theorem)가 수열에 적용되며, r>0 일 때 \displaystyle\lim\limits_{n→∞}n^r1=0이 성립한다. 수열 {r^n}은 −1<r≤1일 때 수렴하고 그 외의 r에 대해서는 발산한다.
5. 단조유계수열 정리 (Monotonic Sequence Theorem): 수열이 모든 n에 대해 증가하거나 감소하는 단조수열 (Monotonic Sequence)이고, 유계(Bounded) (위로 유계이면서 아래로 유계)이면, 그 수열은 반드시 수렴한다는 중요한 정리이다.
II. 급수 (Series)의 수렴 및 판정
수열 \displaystyle\sum a_n의 무한급수(Infinite Series)는 부분합 (Partial Sum) 수열 S_n=a_1+a_2+⋯+a_n의 극한이 유한수로 존재할 때 수렴한다고 정의되며, 그 극한값이 급수의 합 S가 된다.
1. 기하급수 (Geometric Series): 첫째 항 a와 공비 r을 갖는 기하급수 \displaystyle\sum_{n=1}^∞ar^{n−1}는 \vert r\vert<1일 때 수렴하며, 그 합은 \dfrac{a}{(1−r) }이다. \vert r\vert≥1 이면 급수는 발산한다.
2. 급수의 발산 판정:
◦ 발산판정법 (Divergence Test): \displaystyle\lim\limits_{n→∞}a _n이 존재하지 않거나 0이 아니면, 급수 \displaystyle\sum a_n은 발산한다. (단, \displaystyle\lim\limits_{n→∞}a_n=0 이더라도 급수는 수렴하지 않을 수 있다. 예: 조화급수(Harmonic Series) \displaystyle\sum\dfrac{1}{n}은 발산한다).
3. 양수 항 급수의 수렴 판정: (항이 양수인 급수에 적용된다.)
◦ 적분판정법 (Integral Test): 함수 f(x)가 x≥N에서 연속이고, 양수이며, 감소 함수이고 a_n=f(n) 일 때, 급수 \displaystyle\sum a_n의 수렴/발산 여부는 이상적분 \displaystyle\int_N^∞f(x)dx의 수렴/발산 여부와 같다.
◦ p-급수 (p-Series): 적분판정법의 응용으로 \displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^p} 형태의 급수는 p>1 일 때 수렴하고 p≤1 일 때 발산한다.
◦ 비교판정법 (Comparison Tests): 수렴/발산 여부를 아는 급수(\displaystyle\sum b_n, 주로 p-급수나 기하급수)와 비교하여 판정한다.
▪ 직접 비교판정법 (Direct Comparison): a_n≤b_n 이고 \displaystyle\sum b_n이 수렴하면 \displaystyle\sum a_n도 수렴한다.
▪ 극한 비교판정법 (Limit Comparison): \displaystyle\lim\limits_{n→∞}\dfrac{a_n}{b_n}=L (L>0)이면 \displaystyle\sum a_n 과 \displaystyle\sum b_n은 수렴/발산 여부를 공유한다.
4. 교대급수 및 절대 수렴 (Alternating Series and Absolute Convergence):
◦ 교대급수판정법 (Alternating Series Test): 항의 부호가 번갈아 나타나는 교대급수 \displaystyle\sum(−1)^{n−1}b_n는
(ii) \displaystyle\lim\limits_{n→∞}b_n=0 이면 수렴한다.
◦ 절대 수렴 (Absolute Convergence): 급수 \displaystyle\sum a_n의 절댓값 급수 \displaystyle\sum\vert a_n\vert이 수렴하면, \displaystyle\sum a_n은 절대 수렴하고, 이는 \displaystyle\sum a_n 이 반드시 수렴함을 보장한다.
◦ 조건부 수렴 (Conditional Convergence): 급수는 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 경우를 의미한다.
5. 비판정법과 근판정법 (Ratio and Root Tests): 급수의 항이 계승(n!)이나 거듭제곱을 포함할 때 유용하며, 주어진 급수가 절대 수렴하는지를 결정하는 데 사용된다.
◦ 비판정법 (Ratio Test): \displaystyle\lim\limits_{n→∞}\bigg\vert{\dfrac{a_n}{a_{n+1}}}\bigg\vert =L 일 때, L<1 이면 수렴, L>1 이면 발산한다.
◦ 근판정법 (Root Test): \displaystyle\lim\limits_{n→∞}\sqrt[n]{\vert a_n\vert}=L 일 때, L<1 이면 수렴, L>1 이면 발산한다.
6. 합의 추정: 수렴하는 급수에 대해 부분합 S_n을 합 S의 근삿값으로 사용할 때, 적분판정법에 대한 나머지 추정이나 교대급수 추정정리를 이용하여 오차의 크기 \vert R _n\vert를 추정할 수 있다.
III. 거듭제곱급수와 함수 표현
미분적분학의 핵심 주제인 거듭제곱급수는 함수를 무한 다항식 형태로 표현하는 방법을 제공한다.
1. 거듭제곱급수의 정의: \displaystyle\sum_{n=0}^∞c _n(x−a)^n 형태의 급수이며, x 값에 따라 수렴하거나 발산한다.
2. 수렴 구간과 수렴 반지름: 거듭제곱급수가 수렴하는 x 값의 집합은 항상 하나의 구간으로 나타난다. 수렴 반지름(Radius of Convergence) R는 급수가 \vert x−a\vert<R에서 수렴하고 \vert x−a\vert>R에서 발산하도록 하는 양수이다. 수렴 구간(Interval of Convergence)는 수렴하는 모든 x 값으로 구성되며, 끝점 x=a±R의 수렴 여부는 별도의 판정법으로 확인해야 한다.
3. 함수의 거듭제곱급수 표현: 기하급수 공식 \dfrac{1}{1−x}=\displaystyle\sum_{n=0}^∞x^n(\vert x\vert<1)을 조작하여 \dfrac{1}{1+x^2}와 같은 다른 함수들에 대한 거듭제곱급수 표현을 얻을 수 있다.
4. 항별 미분과 적분: 거듭제곱급수는 수렴 반지름 R 내에서 항별로 미분하거나 적분할 수 있으며, 이 연산을 통해 얻은 새로운 급수 또한 원래 급수와 동일한 R을 가진다. 이 성질은 e^{−x^2}와 같이 역도함수를 찾을 수 없는 함수를 적분하는 데 유용하게 사용된다.
5. 테일러 급수와 매클로린 급수 (Taylor and Maclaurin Series):
◦ 함수 f가 거듭제곱급수 \displaystyle\sum c_n(x−a)^n로 표현될 수 있다면, 계수 c_n은 f의 n차 도함수를 a에서 평가한 값으로 유일하게 결정된다: c_n=\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} 이 급수가 테일러 급수이다.
◦ 중심 a=0 인 특별한 경우가 매클로린 급수이다.
◦ 함수 f(x)가 자신의 테일러 급수 합과 같아지려면, 테일러 다항식의 나머지 항 R_n(x)가 n→∞일 때 0으로 수렴해야 한다.
◦ e^x, \sin x, \cos x와 같은 중요한 함수들은 모든 x에 대해 자신의 매클로린 급수로 표현된다.
6. 테일러 다항식의 응용 (Taylor Polynomials):
◦ 테일러 다항식 T_n(x)는 테일러 급수의 n번째 부분합이며, 함수 f(x)를 근사하는 데 사용된다.
◦ 근사의 정확도는 테일러 부등식 (Taylor Inequality)를 이용하여 오차 \vert R_n(x)\vert를 정함으로써 결정된다.
◦ 이 근사 방법은 컴퓨터 과학자들이 계산기나 컴퓨터로 함수값을 구하는 데 사용되며, 광학, 특수 상대성 이론(예: 운동 에너지 K 근사) 등 다양한 분야의 현상을 분석하는 데 활용된다.