I. 매개변수방정식으로 정의된 곡선과 그 미적분 (Parametric Equations)
매개변수방정식은 y=f(x)나 x=g(y)와 같은 명시적 함수나 음함수 f(x,y)=0로 표현할 수 없는 곡선을 기술하는 데 유용하다.
1. 매개변수방정식의 정의: 곡선 C 상의 점 (x,y)의 좌표를 매개변수(parameter)라고 하는 제3의 변수 t의 함수로 정의한다: x=f(t),y=g(t).
t는 반드시 시간을 나타내지는 않지만, 많은 경우 시각 t에서의 입자의 위치와 운동의 방향을 나타내는 데 사용된다.
2. 매개변수 소거: 매개변수 t를 소거하여 곡선의 직교방정식을 얻을 수 있다 (예: 포물선 x=y^2−4y+3). 하지만 매개변수를 소거하는 과정에서 입자의 운동 방향이나 속도에 대한 정보를 잃을 수 있다.
3. 대표적인 응용: 사이클로이드(Cycloid)와 같은 곡선은 매개변수 θ를 이용하여 x=r(θ−\sin θ), y=r(1−\cos θ)로 표현되는데, 이는 최속 강하선 문제(brachistochrone problem)와 등시곡선 문제(tautochrone problem)의 해로 알려져 있다.
4. 매개변수곡선에 대한 미적분: 매개변수 t를 소거하지 않고 곡선에 대한 미적분학을 적용하는 것이 중요하다.
◦ 접선의 기울기: 연쇄 법칙을 사용하여 접선의 기울기 \dfrac{dy}{dx} 를 구한다: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} (단, \dfrac{dx}{dt}\ne 0). 이는 입자의 수직속도와 수평속도의 비율을 나타낸다. 또한 이계 도함수 \dfrac{d^2y}{dx^2}는 곡선의 오목성 (Concavity)를 결정하는 데 사용된다.
◦ 넓이: 곡선 아래의 넓이 A=\displaystyle\int ydx를 매개변수에 대한 적분으로 치환하여 계산한다: A=\displaystyle\int_α^βg(t)f^′(t)dt
◦ 호의 길이: 곡선의 길이 L은 호의 미분소 ds를 이용하여 다음과 같이 계산된다: L=\displaystyle\int_α^β\sqrt{\bigg(\dfrac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{dy}{dt}\bigg)^2}dt
◦ 속력 및 곡면 넓이: 시각 t에서 입자의 속력(speed) v(t)는 호의 길이 함수 s(t)의 도함수로 정의되며, v(t)=s^′(t)=\sqrt{\bigg(\dfrac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{dy}{dt}\bigg)^2}dt이다. 곡선을 x축 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면 넓이 S도 S=\displaystyle\int_α^β 2πy\sqrt{\bigg(\dfrac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{dy}{dt}\bigg)^2}dt 공식으로 계산된다.
II. 극좌표와 극곡선에 대한 미적분 (Polar Coordinates)
극좌표계는 원이나 대칭성이 강한 곡선(예: 심장형, 장미 곡선)을 기술하는 데 매우 편리하다.
1. 극좌표계 정의 및 변환: 평면 위의 점 P를 극(pole, 원점 O)으로부터의 거리 r과 극축(polar axis, 양의 x축)으로부터의 각도 θ로 (r,θ)와 같이 나타낸다. 직교좌표 (x,y)와의 변환 관계는 x=r\cosθ,y=r\sinθ 이고 r^2=x^2+y^2, \tanθ=\dfrac{y}{x}이다.
2. 좌표의 비유일성: 직교좌표와 달리, 극좌표계에서는 한 점이 (r,θ+2nπ)나 (−r,θ+(2n+1)π)와 같이 여러 순서쌍으로 표현될 수 있다.
3. 극곡선: r=f(θ) 형태의 극방정식의 그래프를 그린다. 예시로 원 (r=a), 직선 (θ=1), 심장형(Cardioid) (r=1+\sinθ), 장미 곡선 (r=\cos2θ), 그리고 리마송(Limaçon) 곡선족 (r=1+c\sinθ) 등이 있다.
4. 극좌표에서 미적분:
◦ 넓이: 극곡선 r=f(θ)와 반직선 θ=α,θ=β로 둘러싸인 영역의 넓이 A는 부채꼴 넓이 \dfrac{1}{2}r^2Δθ의 리만 합 극한으로 정의된다.
A=\displaystyle\int_α^β\dfrac{1}{2}r^2dθ 이 공식은 두 극곡선 사이의 면적을 구하는 데 확장된다.
◦ 호의 길이: θ를 매개변수로 사용하여 호의 길이 공식을 유도한다.
L=\displaystyle\int_α^β\sqrt{r^2+\bigg(\dfrac{dr}{dθ}\bigg)^2}dθ
◦ 접선의 기울기: θ를 매개변수로 하는 매개변수 미분법을 사용하여 \dfrac{dy}{dx}를 구한다. 특히, 극 O(r=0)에서의 접선 기울기는 \tanθ로 간단해진다.
III. 원뿔곡선 및 극좌표를 이용한 단일화
챕터 9의 마지막 부분은 고대부터 연구된 원뿔곡선(Conic Sections)인 포물선, 타원, 쌍곡선을 재검토하고, 이들을 이심률(Eccentricity) 개념을 통해 단일화한다.
1. 원뿔곡선(Conic Sections)의 정의: 포물선, 타원, 쌍곡선은 모두 초점(Focus)와 준선(Directrix)로부터의 거리 비율인 이심률 e를 통해 단일하게 정의될 수 있다.
\dfrac{\vert Pl\vert}{\vert PF\vert}=e (단, \vert PF\vert는 초점까지의 거리, \vert P l \vert는 준선까지의 거리)
2. 이심률에 의한 분류: 이심률 e의 값에 따라 원뿔곡선(Conic Sections)의 유형이 결정된다.
◦ e<1: 타원 (Ellipse)
◦ e=1: 포물선 (Parabola)
◦ e>1: 쌍곡선 (Hyperbola)
3. 극방정식을 이용한 표현: 초점을 원점(극)에 놓을 경우, 원뿔곡선(Conic Sections)의 극방정식은 다음과 같이 간단하게 통일된다:
r=\dfrac{ed}{1±e\cosθ} 또는 r=\dfrac{ed}{1±e\sinθ}
4. 케플러 법칙 (Kepler's Laws): 이 극방정식은 천문학에 응용된다. 케플러의 제1법칙은 행성이 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 공전한다는 것이며, 이심률을 통해 태양에서 행성까지의 가장 가깝고 먼 거리(근일점, 원일점)를 계산할 수 있다.