I. 곡선의 기하학적 측정 (Geometric Measurements)
정적분을 사용하여 곡선 자체의 길이와 곡선이 회전하여 만들어내는 표면의 넓이를 계산하는 방법이다.
1. 호의 길이 (Arc Length): 호의 길이 L은 곡선 y=f(x) 상의 점들을 잇는 선분들의 길이의 합(리만 합)의 극한으로 정의된다. 이를 위해 미소 길이인 호의 미분소 (Arc Length Differential) ds를 정의하는데, 이는 피타고라스 정리에 의해 (ds)^2=(dx)^2 +(dy)^2이며, 직교좌표계에서는 ds=\sqrt{1+[f^′(x)]^2}dx 또는 ds=\sqrt{1+[g^′(y)]^2}dy 형태로 표현된다. 따라서 구간 [a,b]에서 곡선의 길이 L은 L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+[f^′(x)]^2}dx 공식으로 계산된다.
2. 회전 곡면의 넓이 (Area of a Surface of Revolution): 함수 y=f(x)의 곡선을 x축이나 y축과 같은 직선을 중심으로 회전시킬 때 생기는 곡면의 넓이 S를 구하는 방법을 배운다. 이 넓이는 곡선을 매우 얇은 띠(band)들로 분할하여, 각 띠의 넓이(둘레 × 미소 길이)를 합한 리만 합의 극한으로 정의된다. 핵심 공식은 S=\displaystyle\int\pi rds 이며, r은 회전축에서 곡선까지의 반경이다. 예를 들어, 곡선 y=f(x)를 x축 주위로 회전시킬 경우, 반경은 y가 되므로 넓이 S는 다음과 같다: S=\displaystyle\int2\pi yds=\displaystyle\int2\pi y\sqrt{1+[f^′(x)]^2}dx
II. 정역학과 질량의 중심 (Hydrostatics and Center of Mass)
이 섹션은 적분을 사용하여 물체가 균형을 이루는 지점(질량 중심)을 찾고, 유체가 가하는 힘(유체 정역학적 힘)을 계산한다.
1. 질량 중심 (Center of Mass) 및 중심 (Centroid): 점 질량 시스템에서 모멘트 (Moment) M은 질량 m과 회전축으로부터의 거리 d의 곱으로 정의되며, 질량 중심 (\bar{x}, \bar{y})은 모멘트의 합을 총 질량 m으로 나누어 구한다. 평면 영역 R의 경우, 질량 중심(Centroid)을 구하기 위해 M_x (x축에 대한 모멘트)와 M_y (y축에 대한 모멘트)를 적분으로 계산한다. 중심의 좌표는 (\bar{x}=\dfrac{M_y}{m}, \bar{y}=\dfrac{M_x}{m})이다. 균일한 밀도의 평면 영역에 대해서는 질량 대신 넓이 A를 사용하여 중심을 계산할 수 있다.
2. 유체 정역학적 힘 (Hydrostatic Force): 액체 속에 잠겨 있는 수직면에 가해지는 유체 정역학적 힘을 계산하는 방법을 다룬다. 유체의 압력 P는 깊이 d에 비례하며 P=ρgd (여기서 ρ는 밀도, g는 중력 가속도)로 정의된다. 수직 벽에 작용하는 힘 F는 깊이에 따라 압력이 변하므로, 수평 단면(미소 영역 dA)에 가해지는 미소 힘 dF=PdA를 적분하여 구한다.
3. 파푸스의 정리 (Pappus's Theorem): 파푸스의 정리는 회전체의 부피나 곡면의 넓이를 구할 때 질량 중심의 개념을 활용하는 정리이다. 특히, 회전체의 부피 V는 회전되는 영역의 면적 A와 그 영역의 중심이 회전축을 중심으로 이동한 거리 d의 곱 V=Ad와 같다는 성질을 이용하여 부피 계산을 단순화할 수 있다. 파푸스의 제2정리는 곡면의 넓이 S가 호의 길이 L과 중심이 움직인 거리 d의 곱 S=Ld와 같음을 다룬다.
III. 경제학, 생물학 및 확률 (Economics, Biology, and Probability)
적분은 공학적 문제뿐만 아니라 사회 과학 및 자연 과학의 변화율과 누적값을 계산하는 데 광범위하게 사용된다.
1. 경제학적 응용 (소비자 잉여): 소비자 잉여 (Consumer Surplus)는 소비자가 상품에 대해 지불할 용의가 있는 최대 가격과 실제로 지불한 가격 사이의 차이로 정의된다. 수요 함수 p(x)와 현재 판매 가격 P가 주어졌을 때, 총 소비자 잉여는 수요 곡선 아래와 직선 p=P 위로 둘러싸인 영역의 넓이로 해석되며, 정적분 \displaystyle\int_0^X[p(x)−P]dx로 계산된다.
2. 생물학적 응용 (혈류 및 심박출량):
◦ 혈액의 흐름: 혈관을 통한 유량 (Flow Rate) F는 혈액의 속도 함수 v(r)을 혈관 단면에 대해 적분하여 얻는다: F=\displaystyle\int_0^R2πrv(r)dr. 이로부터 유량이 혈관 반지름의 네제곱에 비례한다는 푸아죄유의 법칙 (Poiseuille's law)가 유도된다.
◦ 심박출량 (Cardiac Output): 심장이 단위 시간당 내보내는 혈액의 양인 심박출량은 색소 희석법 (Dye Dilution Method)로 측정된다. 주입된 색소의 양 A와 대동맥에서 측정된 농도 함수 c(t)의 적분 \displaystyle\int_0^Tc(t)dt를 이용하여 심박출량 F를 추정한다: F=\dfrac{A}{\displaystyle\int_0^Tc(t)dt}
3. 확률 (Probability): 연속 확률 변수 (Continuous Random Variables) X의 확률은 확률 밀도 함수 (Probability Density Function, PDF) f(x)를 사용하여 정의된다. 확률 P(a≤X≤b)는 a에서 b까지의 PDF의 정적분 \displaystyle\int_a^bf(x)dx과 같다. PDF는 모든 x에 대해 f(x)≥0이고, 전체 구간에 대한 적분값이 1, (\displaystyle\int_{−∞}^∞f(x)dx=1)이라는 조건을 만족해야 한다.
◦ 평균 (μ): 확률 변수 X의 평균은 μ=\displaystyle\int_{−∞}^∞xf(x)dx로 정의되며, 이는 PDF 그래프 아래 영역의 중심(Centroid)의 위치를 나타내는 척도이다.
◦ 중앙값 (m): 중앙값은 \displaystyle\int_{-∞}^mf(x)dx=\dfrac{1}{2}을 만족하는 수 m으로, 전체 확률의 절반이 이 값보다 작거나 같음을 의미한다.
◦ 정규 분포 (Normal Distribution): IQ 점수나 키와 같은 많은 현상들이 평균 μ와 표준편차 σ에 의해 정의되는 종 모양의 정규 분포를 따르며, 그 확률 밀도 함수가 제시된다.