진동

1. 단순 조화 운동 (Simple Harmonic Motion, SHM)

단순 조화 운동의 조건

• 복원력: 평형 위치(x=0)로부터의 변위(x)에 비례하고 항상 평형 위치를 향하는 힘인 복원력(F)이 작용해야 한다.

• 가속도: 뉴턴의 제2법칙(F=ma)을 적용하면, 단순 조화 운동을 하는 물체의 가속도(a)는 변위에 비례하고 방향이 반대이다.

운동학적 설명 (Kinematic Description)

단순 조화 운동을 하는 입자의 위치(x), 속도(v), 가속도(a)는 시간에 따라 사인(sin) 또는 코사인(cos) 함수로 변화한다.

• 위치 함수:

※ A: 진폭 (Amplitude). 평형 위치에서 최대 변위.

※ \omega: 각진동수 (Angular Frequency). \omega = \sqrt{k/m}. 단위: rad/s.

※ \phi: 위상 상수 (Phase Constant). t=0에서의 초기 상태를 결정한다.

• 속도 함수: \mathbf{v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi)}

- 최대 속력: \mathbf{v_{\text{max}} = A\omega}

• 가속도 함수:\mathbf{a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x}

- 최대 가속도: \mathbf{a_{\text{max}} = A\omega^2}

주기와 진동수

• 주기 (Period, T): 한 번의 완전한 진동을 완료하는 데 걸리는 시간.

• 진동수 (Frequency, f): 단위 시간당 진동 횟수.

- 단위: SI 단위는 헤르츠(Hertz, Hz) 이며, \mathbf{1 \text{ Hz} = 1\ \text{s}^{-1}} 이다.

2. SHM의 에너지와 용수철 운동

단순 조화 운동을 하는 계는 에너지 보존 법칙을 따른다.

에너지 함수

• 퍼텐셜 에너지 (U):\mathbf{U = \frac{1}{2} k x^2}

• 운동 에너지 (K):\mathbf{K = \frac{1}{2} m v^2}

• 총 역학적 에너지 (E): 총 에너지는 항상 일정하게 보존되며, 이는 진폭에 의해 결정된다.

• 속도의 변위 함수: 총 에너지 보존 식을 사용하여 임의의 위치 x에서의 속도 v를 구할 수 있다.

3. 진자 운동 (Pendulum Motion)

단순 진자 (Simple Pendulum)

• 정의: 질량 m의 입자가 길이 L의 가볍고 늘어나지 않는 줄에 매달려 진동하는 이상적인 모형.

• 운동: 변위 각 \theta가 작을 때(\sin\theta \approx \theta), 단순 진자는 단순 조화 운동을 한다.

- 복원 돌림힘: \tau = -m g L \sin\theta \approx -(mgL)\theta.

• 단순 진자의 주기: 단순 진자의 주기는 질량에 무관하며, 오직 길이 L과 중력 가속도 g에만 의존한다.

물리 진자 (Physical Pendulum)

• 정의: 복잡한 모양을 가지며, 질량이 균일하게 분포된 실제 강체가 한 축 주위를 회전하며 진동하는 모형.

• 주기: 회전축에 대한 관성 모멘트 I와 무게 중심(d)까지의 거리에 의존한다.

- 단순 진자는 I = m L^2, d = L 을 대입한 물리 진자의 특수한 경우이다.

비틀림 진자 (Torsion Pendulum)

• 정의: 선운동이 아닌 회전 운동으로 진동하는 계.

• 주기: 물체의 관성 모멘트 I와 비틀림 용수철 상수 \kappa(\tau = -\kappa\theta)에 의존한다.

4. 감쇠 진동과 강제 진동

감쇠 진동 (Damped Oscillations)

• 정의: 점성 유체 저항과 같은 비보존력(감쇠력, \vec{R} = -b\vec{v})이 작용하여 진폭이 시간에 따라 감소하는 진동.

• 위치 함수:

※ e^{-bt/2m}: 감쇠 진폭을 결정하는 요소.

※ \omega: 감쇠 진동의 각진동수. \omega = \sqrt{\omega_0^2 - (b/2m)^2}. (\omega_0: 감쇠가 없을 때의 고유 각진동수)

• 임계 감쇠와 과감쇠: 감쇠 상수 b가 클 때 진동 자체가 사라지고 단순히 평형점으로 돌아오는 현상이 발생한다.

강제 진동과 공명 (Forced Oscillations and Resonance)

• 강제 진동: 물체가 감쇠 진동을 하는 동시에, 구동력(F = F_0 \sin(\omega_d t))에 의해 외부로부터 에너지를 공급받아 진동하는 경우.

• 진폭: 강제 진동의 진폭은 구동 진동수 \omega_d와 계의 고유 진동수 \omega_0의 차이가 작을수록 커진다.

• 공명 (Resonance): 구동 진동수 \omega_d가 고유 진동수 \omega_0에 가까워질 때 진폭이 급격히 증가하는 현상.

- 공명 진동수:\omega_{\text{res}} = \sqrt{\omega_0^2 - (b/m)^2}. (약한 감쇠(b\to 0)에서는 \omega_{\text{res}} \approx \omega_0).