파동의 운동

1. 파동의 전파와 유형

파동의 운동(Wave Motion)은 매질의 이동 없이 교란과 에너지가 공간을 통해 전달되는 현상이다.

• 파동 함수(y(x,t)): 임의의 시간 t에서 위치 x에 있는 매질 요소의 횡 위치를 나타낸다.

- 오른쪽(+x)으로 진행하는 파동: \mathbf{y(x,t) = f(x - vt)}.

- 왼쪽(-x)으로 진행하는 파동: \mathbf{y(x,t) = f(x + vt)}.

• 파동의 유형:

- 횡파 (Transverse Wave): 매질의 요소가 전파 방향에 수직인 방향으로 움직인다. (예: 팽팽한 줄을 따라 진행하는 펄스)

- 종파 (Longitudinal Wave): 매질의 요소가 전파 방향에 평행한 방향으로 움직인다. (예: 음파, 용수철의 압축)

2. 사인형 파동과 진행파 모형

사인형 파동의 특성

줄 끝을 단조화 운동시켜 생성되는 사인형 파동(Sinusoidal Wave)은 연속적인 주기 파동의 가장 간단한 예이다.

• 파장 (\lambda): 인접한 마루 또는 골 사이의 거리이다.

• 주기 (T): 매질 요소가 한 번 진동하는 데 걸리는 시간.

• 진폭 (A): 매질 요소의 평형 위치로부터의 최대 변위.

파동의 속력 (v)

파동의 속력은 파장(\lambda)과 진동수(f)의 곱이다.

\mathbf{v = \lambda f = \frac{\omega}{k}}

팽팽한 줄에서의 파동 속력

파동 속력은 매질의 탄성적 특성과 관성적 특성에 의존한다. 팽팽한 줄(T: 장력, \mu: 선질량 밀도)의 경우:

\mathbf{v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}}

3. 음파의 속력과 세기

음파의 속력

기체 내 음속은 매질의 부피 탄성률(B)과 밀도(\rho)에 의존한다.

\mathbf{v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}}

• 온도 의존성: 공기 중 음속은 온도가 증가함에 따라 증가한다.

음파의 세기 (Intensity, I)

세기는 파동이 진행 방향에 수직인 단위 넓이당 전달하는 평균 일률로 정의된다.

• 세기의 수식:

- s_{\text{max}}: 변위 진폭. I는 변위 진폭의 제곱에 비례한다.

• 압력 진폭 (\Delta P_{\text{max}})과의 관계:

소리 준위 (Sound Level, \beta)

인간이 들을 수 있는 세기의 넓은 범위를 다루기 위해 로그 눈금인 데시벨(dB) 단위를 사용한다.

\mathbf{\beta \equiv 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)}

• I_0: 기준 세기 (가청 문턱, 1.00 \times 10^{-12} \text{ W}/\text{m}^2).

• 소리 세기가 10배 증가할 때마다 소리 준위는 10 dB 증가한다.

4. 도플러 효과와 충격파

도플러 효과 (Doppler Effect)

• 정의: 음원이나 관측자의 상대적인 운동으로 인해 관측자가 듣는 겉보기 진동수(f')가 변하는 현상이다. 진동수 변화는 오직 상대 속력에만 의존하며 거리는 관계없다.

• 일반 관계식:

※ v: 음속. v_{\text{O}}: 관측자 속력. v_{\text{S}}: 음원 속력.

- 부호 규칙: 음원이나 관측자가 서로 가까워지는 경우(진동수 증가)에는 속력에 양(+)의 값을, 멀어지는 경우(진동수 감소)에는 음(-)의 값을 사용한다.

충격파 (Shock Waves)

• 정의: 음원의 속력(v_{\text{S}})이 매질 내의 음속(v)보다 빠를 때(v_{\text{S}} > v), 음파 파면들이 서로 중첩되어 형성되는 원뿔 모양의 파면 포락선이다.

• 마하각 (\theta): 원뿔의 정점 반각은 \mathbf{\sin\theta = \frac{v}{v_{\text{S}}}} 이며, v_{\text{S}}/v 를 마하수라고 한다.

• 현상: 충격파는 큰 압력 변화를 동반하며, 제트기가 초음속으로 비행할 때 발생하는 큰 폭발음("쿵" 소리)의 원인이다.