유체 역학

1. 정지 유체와 압력

유체(액체 및 기체)는 약한 응집력으로 뭉친 분자들의 집합이며, 정지 상태의 유체는 물체에 항상 표면에 수직인 힘만을 가한다.

• 압력 (Pressure, P): 유체가 피스톤에 가하는 단위 넓이(A)당 힘(F)의 크기로 정의되는 스칼라량이다.

- 단위: SI 단위는 파스칼(Pa)이며, \mathbf{1 \text{ Pa} \equiv 1 \text{ N/m}^2} 이다.

• 깊이에 따른 압력 변화: 밀도 \rho인 비압축성 액체 내에서 압력(P)은 깊이 h에 따라 증가한다.

※ P_0: 액체 표면에서의 압력 (보통 대기압).

※ P: 절대 압력(Absolute Pressure), P - P_0는 계기 압력(Gauge Pressure)이다.

• 파스칼 법칙 (Pascal's Law): 유체에 작용하는 압력의 변화는 유체 내의 각 점과 용기의 벽에 똑같이 전달된다. (응용: 유압 기중기)

2. 부력과 아르키메데스의 원리

부력 (Buoyant Force, \vec{B})

• 정의: 유체 속에 잠긴 물체에 작용하여 위로 떠오르게 하는 힘이다. 이 힘은 물체 밑면과 윗면에 작용하는 압력차에 의해 발생한다.

※ V_{\text{disp}}: 물체에 의해 밀려난 유체의 부피 (잠긴 부피).

• 아르키메데스의 원리 (Archimedes's Principle):물체에 작용하는 부력의 크기는 그 물체에 의하여 밀려난 유체의 무게와 같다.

물체의 평형 조건 (부력과 밀도)

• 떠 있는 물체: 유체 표면에 떠 있을 때, 물체 전체 부피 중 잠긴 부피의 비율은 물체 밀도(\rho_{\text{obj}})와 유체 밀도(\rho_{\text{fluid}})의 비율과 같다.

3. 유체 동역학과 베르누이 방정식

유체 동역학은 이상 유체(이상적인 유체) 모형의 네 가지 가정(비점성, 층흐름, 비압축성, 비회전성 흐름) 하에 분석된다.

연속 방정식 (Equation of Continuity)

• 정의: 비압축성 유체의 경우, 관의 모든 지점에서 유체의 속력(v)과 단면적(A)의 곱인 부피 선속(Volume Flux) 또는 흐름률(A v)은 일정하다.

- 관이 좁은 곳(A 작음)에서 유체의 속력(v)은 빠르다.

베르누이 방정식 (Bernoulli's Equation)

• 정의: 유체의 속력(v), 압력(P), 고도(y) 사이의 관계를 나타내며, 에너지 보존 원리를 유체 흐름에 적용한 식이다.

• 베르누이 효과:유체의 속력이 증가함에 따라 유체의 압력이 줄어든다. (응용: 비행기 양력(Lift), 트럭 옆을 지날 때 자동차 쏠림)

토리첼리의 법칙 (Torricelli's Law)

• 적용: 뚜껑이 열린 통의 수면으로부터 깊이 h에 있는 작은 구멍을 통해 액체가 유출될 때의 속력($v$)이다.

- 이는 높이 h에서 자유 낙하하는 물체의 속력과 같다.

4. 실제 유체와 응용

점성 유체의 흐름 (Viscous Flow)

• 점성도 (Viscosity, \eta): 유체에서 내부 마찰의 정도를 나타내며, 유체의 운동 에너지를 내부 에너지로 전환시킨다.

• 푸아죄유의 법칙 (Poiseuille's Law): 점성 유체가 반지름 r인 관을 흐를 때의 압력차(\Delta P)와 부피 흐름률(I_V)의 관계이다.

- 중요성: 압력차는 관 반지름(r)의 네제곱에 반비례한다. (혈관이 좁아지면 압력이 급격히 증가함)

유체 동역학의 응용

• 양력 (Lift): 비행기 날개에 작용하는 위로 향하는 힘이다. 이는 날개 주변 공기의 속력 차이에 의한 베르누이 효과(압력차)와 날개가 공기를 아래로 편향시키는 힘(뉴턴의 제3법칙) 모두에 의해 발생한다.

• 고도와 양력: 고도가 높을수록 공기의 밀도(\rho)가 낮아져 양력이 감소한다. 이 때문에 비행기는 이륙에 더 빠른 속력과 더 긴 활주로를 필요로 한다.