만유인력

1. 뉴턴의 만유인력 법칙과 중력장

만유인력 법칙 (Newton's Law of Universal Gravitation)

• 법칙: 우주의 모든 입자는 다른 모든 입자를 끌어당기며, 그 인력은 두 입자의 질량의 곱에 비례하고 그들 사이 거리의 제곱에 반비례한다.

• 만유인력 상수(G):G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2 이다.

• 벡터 형태:\vec{F}_{12} (입자 1이 입자 2에 작용하는 힘)는 -\frac{GM_1 M_2}{r^2} \hat{r}_{12} 이다. (음의 부호는 인력을 나타냄 ).

• 역제곱 법칙: 힘의 크기가 거리의 제곱에 반비례하므로 역제곱 법칙이라고도 한다.

자유 낙하 가속도(g)와 무게

• 지표면 근처(h=0): m g = G \frac{M_E m}{R_E^2} 이므로, 자유 낙하 가속도는 다음과 같다:

• 고도 h에서의 가속도: 지구 중심으로부터의 거리 r = R_E + h 에 따라 g 값은 감소한다.

• 무게: 물체의 무게는 F_g = mg 로, 고도 h가 증가할수록 g가 작아지므로 무게도 작아진다.

중력장 내의 입자 분석 모형 (Gravitational Field)

• 정의: 중력장 \vec{g}는 공간의 특정 지점에 놓인 시험 입자(m_0)가 받는 중력 \vec{F}_g을 그 질량으로 나눈 값이다.

• 크기와 방향: 지구 중심으로부터 거리 r에서의 중력장 크기는 \frac{G M_E}{r^2} 이며, 방향은 항상 지구 중심을 향한다.

- 중력장 \vec{g}의 크기는 그 지점의 자유 낙하 가속도의 크기와 같다.

2. 케플러의 법칙과 궤도 운동

케플러(Kepler)는 티코 브라헤(Tycho Brahe)의 관측 자료를 분석하여 행성 운동에 관한 세 가지 법칙을 이끌어낸다.

케플러의 세 가지 법칙

• 제1법칙 (타원 궤도의 법칙): 모든 행성들은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라서 운동한다.

- 원일점: 태양으로부터 가장 먼 거리 (a+c).

- 근일점: 태양으로부터 가장 가까운 거리 (a-c).

• 제2법칙 (면적 속도의 법칙): 태양과 행성을 잇는 반지름 벡터는 같은 시간 간격 동안에 같은 넓이를 쓸고 지나간다.

- 이는 행성에 작용하는 중력이 중심력이므로 행성의 각운동량이 보존된다는 사실의 직접적인 결과이다.

• 제3법칙 (주기의 법칙): 모든 행성의 궤도 주기의 제곱(T^2)은 그 행성 궤도의 긴반지름의 세제곱(a^3)에 비례한다.

비례 상수 K_S = \frac{4\pi^2}{G M_S} 는 태양의 질량(M_S)에만 의존하며 행성의 질량과는 무관한다.

등속 원운동하는 위성의 속력

질량 M_E인 지구 주위를 반지름 r = R_E + h 인 원 궤도로 도는 위성(m)의 궤도 속력(v)은 중력이 구심력 역할을 하므로:

\mathbf{v = \sqrt{\frac{G M_E}{r}} = \sqrt{\frac{G M_E}{R_E + h}}}

3. 중력 퍼텐셜 에너지와 탈출 속력

일반화된 중력 퍼텐셜 에너지(U_g)

• 정의: 중력이 0이 되는 무한대(r = \infty)를 퍼텐셜 에너지의 기준점(U_g = 0)으로 설정했을 때.

• 특징:

- 두 물체 사이의 인력 때문에 U_g는 항상 음수이다.

- 퍼텐셜 에너지의 변화(\Delta U):\Delta U_g는 기준점에 무관하며, 물체가 지표면 근처에서 이동할 때의 친숙한 \mathbf{\Delta U_g \approx m g \Delta y} 식과 일치함이 증명된다.

행성 운동에서의 에너지 보존

• 총 역학적 에너지(E): E = K + U_g 는 중력으로 묶인 고립계에서 항상 보존된다.

• 원 궤도 운동의 총 에너지: 원 궤도(r) 또는 타원 궤도(a)를 도는 묶인 계(E < 0)의 총 에너지는 다음과 같다:

• 탈출 속력 (Escape Speed, v_{\text{esc}}): 물체가 행성의 중력 영향으로부터 무한히 멀리(r_{\text{max}} \to \infty) 벗어나기 위해 지표면에서 가져야 하는 최소 속력이다 (E=0인 경우).