일반물리학

정적 평형, 탄성

정적 평형, 탄성

1. 정적 평형의 조건

강체(Rigid Body)가 정지 상태를 유지하기 위해서는 두 가지 평형 조건을 모두 만족해야 한다. 이 상태를 정적 평형(Static Equilibrium)이라고 한다.

제1 평형 조건: 병진 평형 (Translational Equilibrium)

  • 정의: 강체의 병진 운동을 유발하는 알짜힘이 0이어야 한다. 즉, 질량 중심의 가속도 \vec{a}_{\text{CM}} = 0 이다.

\mathbf{\Sigma \vec{F} = 0}

  • 성분 표현: x, y, z 각 방향의 힘의 합이 모두 0이어야 한다.

\mathbf{\Sigma F_x = 0 \quad \Sigma F_y = 0 \quad \Sigma F_z = 0}

제2 평형 조건: 회전 평형 (Rotational Equilibrium)

  • 정의: 강체의 회전 운동을 유발하는 알짜 돌림힘(\Sigma \vec{\tau})이 0이어야 한다. 즉, 각가속도 \alpha = 0 이어야 한다.

\mathbf{\Sigma \vec{\tau} = 0}

  • 돌림힘 측정 기준점: 알짜 돌림힘이 0인 경우, 돌림힘의 합은 어떤 기준점을 잡더라도 항상 0이다. 문제 해결의 편의를 위해 가장 미지수가 많은 힘이 작용하는 지점을 회전축으로 잡는 것이 유리하다.

2. 물체의 무게 중심 (Center of Gravity, CG)

  • 정의: 물체에 작용하는 전체 중력(\vec{F}_g)이 작용하는 점이다.

  • 균일한 중력장: 물체의 무게 중심(CG)은 질량 중심(CM)과 일치한다.

\mathbf{x_{\text{CG}} = \frac{\sum m_i g x_i}{\sum m_i g} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} = x_{\text{CM}}}

  • 평형 분석 시 적용: 평형 문제(정적 평형)를 풀 때는, 강체에 작용하는 모든 중력을 질량 중심에 작용하는 하나의 힘(\vec{F}_g = M\vec{g})으로 대체하여 분석할 수 있다.

3. 탄성: 재료의 변형

지금까지 강체(크기와 모양이 변하지 않는 물체)를 가정했지만, 실제 물체는 힘을 받을 때 변형된다.

응력과 변형률

물체의 변형은 두 가지 물리량으로 정의된다.

물리량

정의

수식

응력 (Stress)

물체의 단면에 작용하는 힘의 크기.

\mathbf{\text{Stress} \equiv \frac{F}{A}} (단위: N/\text{m}^2)

변형률 (Strain)

응력으로 인해 발생하는 물체의 상대적인 변형 정도.

\mathbf{\text{Strain} \equiv \frac{\Delta L}{L_0}} (단위 없음)

탄성 계수 (Moduli of Elasticity)

응력과 변형률은 선형적인 관계를 가진다 (훅의 법칙). 이 관계의 비례 상수를 탄성 계수라고 하며, 이는 물체의 변형 종류에 따라 세 가지로 나뉜다.

\mathbf{\text{Elastic Modulus} \equiv \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}}

계수 이름

변형 종류

응력 / 변형률 수식

영률 (Young's Modulus, Y)

장력 또는 압축력에 의한 길이 변화 (인장 또는 압축)

\mathbf{Y \equiv \frac{F/A}{\Delta L/L_0}}

전단계수 (Shear Modulus, S)

접선 응력에 의한 모양 변화 (전단 변형)

\mathbf{S \equiv \frac{F/A}{\Delta x/h}}

부피 탄성 계수 (Bulk Modulus, B)

균일한 압력에 의한 부피 변화 (압축)

\mathbf{B \equiv -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}}

  • 탄성 한계 (Elastic Limit): 응력이 일정 수준을 초과하면 물체는 영구적으로 변형되거나 파괴된다. 탄성 계수가 적용되는 범위는 이 한계 내이다.

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