각운동량

1. 입자의 각운동량 (11.1)

각운동량 (Angular Momentum, \vec{L})

• 정의: 원점 O에 대한 위치 벡터 \vec{r}에 있는 질량 m의 입자가 속도 \vec{v}로 움직일 때, 이 입자의 각운동량은 \vec{r}과 입자의 선운동량 \vec{p}(=m\vec{v})의 벡터 곱으로 정의된다.

• 크기: \mathbf{L = r p \sin\phi = rm v \sin\phi}

- \phi: \vec{r}과 \vec{p} 사이의 각도이다.

• 방향: 각운동량 \vec{L}의 방향은 \vec{r}에서 \vec{p} 방향으로 회전할 때 오른손 법칙(Right-Hand Rule)을 사용하여 결정된다. (항상 \vec{r}과 \vec{p}를 포함하는 평면에 수직이다.)

• 단위: SI 단위는 \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s} 이다.

각운동량과 돌림힘의 관계

• 뉴턴 제2법칙 (회전 버전의 일반화): 입자에 작용하는 알짜 돌림힘(\Sigma \vec{\tau})은 그 입자의 각운동량의 시간 변화율과 같다.

- 이 관계는 각운동량-돌림힘 정리라고도 불리며, 선운동량-알짜힘 관계(\Sigma \vec{F} = d\vec{p}/dt)와 유사하다.

2. 강체의 각운동량

고정축에 대한 각운동량

강체가 고정된 회전축(z축) 주위로 각속력 \omega로 회전할 때, 강체의 각운동량(L)의 크기는 관성 모멘트(I)와 각속력(\omega)의 곱과 같다.

\mathbf{L = I\omega}

• 벡터 관계: 이 벡터 \vec{L}은 고정축에 평행한 성분(L_z)만을 가지며, \mathbf{\vec{L} = I\vec{\omega}} 로 표현할 수 있다.

• 뉴턴 제2법칙 (고정축에 대한 강체):

회전 운동 에너지와의 관계

• 회전 운동 에너지는 K_R = \frac{1}{2}I\omega^2 이므로, I와 \omega를 L로 표현하면 다음과 같다.

3. 각운동량 보존

각운동량 보존 법칙 (Conservation of Angular Momentum)

• 법칙: 계에 작용하는 알짜 외부 돌림힘이 0일 때(\Sigma \vec{\tau}_{\text{ext}} = 0), 계의 총 각운동량(\vec{L}_{\text{tot}})은 항상 일정하게 보존된다.

• 응용: 고립계의 각운동량 분석 모형을 형성한다.

- I와 \omega의 상반 관계: L이 보존될 때, L = I\omega에서 관성 모멘트 I가 변하면 \omega가 반대로 변한다. (스케이트 선수가 팔을 오므리면 I가 작아져 \omega는 증가한다.)

\mathbf{I_i \omega_i = I_f \omega_f}

• 에너지 관점: 각운동량 보존 과정에서 역학적 에너지(운동 에너지)는 보존되지 않을 수 있다. (스케이트 선수의 경우, 팔을 당길 때 내부 힘이 한 일 때문에 회전 운동 에너지가 증가한다: \Delta K_R = \frac{L^2}{2}\left(\frac{1}{I_f} - \frac{1}{I_i}\right).)

4. 자이로스코프와 팽이의 운동

자이로스코프나 팽이와 같이 회전하는 물체가 중력(\vec{F}_g)과 지지대 힘(\vec{n})의 작용을 받을 때 나타나는 특이한 현상이다.

세차 운동 (Precession)

• 정의: 회전축이 회전축과 같은 평면에 있지 않은 외부 돌림힘(\vec{\tau})의 작용을 받을 때, 각운동량 벡터(\vec{L})의 방향이 돌림힘의 방향을 따라 새로운 축 주위를 회전하는 운동이다.

• 돌림힘의 방향: 중력 \vec{F}_g에 의한 돌림힘 \vec{\tau}는 \vec{L}과 \vec{\tau}가 수직이 되도록 작용한다.

• 각운동량 변화: \vec{L}의 변화 방향(d\vec{L}/dt = \vec{\tau})은 \vec{L}의 방향을 변화시키지만 크기는 변화시키지 않는다.

• 세차 진동수(\omega_p): 각운동량 \vec{L}의 끝이 회전하는 각속도이다.

※ Mg: 중력의 크기, r: 회전 중심에서 무게 중심까지의 거리.