고정축에 대한 강체의 회전

1. 회전 운동학적 변수

회전 운동을 분석할 때 물체를 강체(Rigid Body)로 가정한다. 회전 운동의 물리량은 병진 운동의 물리량과 수학적으로 유사한다.

• 라디안(rad)의 사용: 회전 관련 식에서는 각도를 라디안 단위로만 사용해야 한다.

- \pi \text{ rad} = 180^{\circ}.

회전과 병진 운동의 관계 (물체 내 한 점 P)

회전하는 강체 내의 한 점 P의 병진 속력(v)과 가속도(a)는 강체의 각속력(\omega) 및 각가속도(\alpha)와 관련된다. (여기서 r은 회전축으로부터의 거리)

• 접선 속력:\mathbf{v = r\omega}. (회전 중심에서 멀어질수록 v는 커진다.)

• 접선 가속도:\mathbf{a_t = r\alpha}.

• 지름(구심) 가속도:\mathbf{a_r = r\omega^2}.

• 전체 병진 가속도:\mathbf{a = \sqrt{a_t^2 + a_r^2}}.

2. 각가속도가 일정한 강체

각가속도(\alpha)가 일정한 경우, 회전 운동학 식은 병진 운동의 등가속도 운동학 식과 수학적으로 같은 형태를 가진다.

3. 회전 동역학 및 돌림힘

돌림힘 (Torque, \tau)

• 정의: 회전 운동의 변화를 일으키는 원인이다. 벡터양이지만 크기만 다룬다.

※ F: 가해진 힘의 크기

※ r: 회전축과 힘 작용점 사이의 거리

※ \phi: \vec{F}와 \vec{r} 사이의 각도

※ d = r \sin\phi: 모멘트 팔(Moment Arm). (회전축에서 힘의 작용선까지의 수직 거리 ).

• 부호: 시계 반대 방향 회전을 유발하면 양(+), 시계 방향 회전을 유발하면 음(-)으로 정한다.

• 단위: N·m (뉴턴·미터).

관성 모멘트 (Moment of Inertia, I)

• 정의: 회전 운동에서 질량(m)의 역할과 같으며, 회전 운동의 변화에 저항하는 정도이다.

• 수식 (불연속 입자계):\mathbf{I = \sum_i m_i r_i^2}.

- I는 물체의 질량뿐만 아니라 회전축 주위로 질량이 어떻게 분포하는지에도 의존한다.

뉴턴 제2법칙 (회전 버전)

• 알짜 돌림힘을 받는 강체 분석 모형: 고정축에 대한 강체의 각가속도는 그 축에 작용하는 알짜 돌림힘(\Sigma \tau_{\text{ext}}

4. 회전 운동 에너지 및 굴림 운동

회전 운동 에너지 (K_R)

• 정의: 회전하는 물체를 이루는 개개 입자들의 운동 에너지 합이다.

- 회전 운동 에너지의 형태는 병진 운동 에너지(K = \frac{1}{2}mv^2)와 유사하며, I가 m의 역할을, \omega가 v의 역할을 한다.

• 회전에서의 일-운동 에너지 정리: 외력이 마찰이 없는 고정축에 대하여 회전계에 한 일은 회전 운동 에너지의 변화와 같다.

• 순간 일률:\mathbf{P = \tau\omega}.

강체의 굴림 운동 (Rolling Motion) (10.9)

• 순수 굴림 조건: 물체가 표면에서 미끄러지지 않고 굴러갈 때, 질량 중심(\text{CM})의 병진 속력(v_{\text{CM}})과 각속력(\omega) 사이에 간단한 관계가 성립한다.

※ R은 물체의 반지름이다.

• 총 운동 에너지: 구르는 물체의 총 운동 에너지는 질량 중심에 대한 회전 운동 에너지와 질량 중심의 병진 운동 에너지의 합이다.