I. 핵심 적분 기술 (Core Integration Techniques)
이 섹션은 합성 함수의 미분법(연쇄 법칙)을 역으로 적용하는 치환 적분법을 넘어서, 함수의 곱이나 특정 대수적 형태를 적분하는 방법을 다룬다.
1. 부분 적분법 (Integration by Parts, IBP): 부분 적분법은 미분의 곱의 법칙으로부터 유도된 핵심 적분 공식이다. 이 공식은 \displaystyle\int f(x)g^′(x)dx=f(x)g(x)−\displaystyle\int g(x)f^′(x)dx 또는 라이프니츠 표기법으로 \displaystyle\int udv=uv−\displaystyle\int vdu로 표현된다. 이 기술은 주로 두 함수의 곱으로 이루어진 적분(예: \displaystyle\int x\sin xdx, \displaystyle\int \ln xdx)을 해결할 때 사용되며, 적분을 더 단순한 형태로 변환하는 것을 목표로 한다. 때로는 이 방법을 여러 번 반복하거나 순환적으로 적용하여 (예: \displaystyle\int e^x\sin xdx) 해를 구하기도 한다.
2. 삼각 함수 적분 (Trigonometric Integrals): 삼각 함수들의 거듭제곱이나 곱으로 이루어진 함수를 적분하는 특수한 전략을 다룬다. 이 방법은 \sin^2 x+cos^2 x=1과 같은 삼각 함수 항등식을 활용하여 피적분 함수를 치환 적분법을 적용할 수 있는 형태로 변환하는 것이 핵심이다.
◦\displaystyle\int\sin^m x\cos^n xdx 꼴의 경우, 지수 m 또는 n 중 하나가 홀수이면 u를 나머지 함수로 치환하는 전략이 사용된다.
◦\displaystyle\int\tan^m x\sec^n xdx 꼴의 경우, \dfrac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x 또는 \dfrac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x 임을 이용하여 적분한다. 또한, \sin A\cos B와 같은 곱셈 형태의 삼각 함수 적분은 합으로 변환하는 공식을 사용하여 해결한다.
3. 삼각 치환법 (Trigonometric Substitution): 삼각 치환법은 피적분 함수에 a^2−x^2, x^2+a^2, 또는 x^2−a^2와 같은 근호(Radical)가 포함되어 있을 때, 이를 제거하기 위해 사용된다.
◦ a^2−x^2 꼴은 x=a\sin θ 로 치환하고 1−\sin^2θ=\cos^2θ 항등식을 이용한다.
◦ x^2+a^2 꼴은 x=a\tan θ 로 치환하고 1+\tan^2θ=\sec^2θ 항등식을 이용한다.
◦x^2−a^2 꼴은 x=a\sec θ 로 치환하고 sec^2θ−1=\tan^2θ 항등식을 이용한다. 복잡한 이차식이 포함된 경우에는 치환 전 제곱 완성 (Completing the Square)가 필요할 수 있다.
4. 부분 분수 분해법 (Partial Fraction Decomposition): 이 기술은 유리 함수 (Rational Function) Q(x), P(x)의 적분을 해결하기 위해 사용된다. 적분 전에 분모 Q(x)가 선형 인자나 기약 이차 인자로 분해되었을 때, 원래 유리식을 적분하기 쉬운 단순한 분수들의 합으로 분해한다. 만약 분자 P(x)의 차수가 분모 Q(x)의 차수보다 크거나 같다면, 분해 전에 다항식 나눗셈 (Polynomial Long Division)를 먼저 수행해야 한다. 분모의 인수 형태에 따라 분해 방식이 달라지며, 선형 인자, 반복 선형 인자, 기약 이차 인자 등이 주요한 분해 대상이다.
II. 적분 계산 도구의 활용 (Utilizing Integration Tools)
1. 적분표 및 전개 공식 (Integral Tables and Reduction Formulas): 적분 계산이 매우 복잡해질 경우, 이미 계산되어 정리된 적분표나 컴퓨터 대수 시스템 (CAS)를 사용하여 해를 구하는 방법을 다룬다. 또한, \displaystyle\int\sin nxdx와 같이 n의 값이 감소하는 형태로 적분을 나타내는 점화 공식 (Reduction Formulas)를 활용하여 고차수의 적분을 체계적으로 계산한다.
III. 적분 개념의 확장 (Extension of Integration Concepts)
1. 근사 적분 (Approximate Integration): 함수의 부정적분을 찾을 수 없거나 함수가 수치적인 데이터로만 주어진 경우, 정적분 \displaystyle\int_a^bf(x)dx의 값을 근사적으로 계산하는 방법을 다룬다.
◦ 주요 방법으로는 사다리꼴 모양으로 넓이를 근사하는 사다리꼴 규칙 (T_n)와 직사각형의 높이를 중점에서 취하는 중점 규칙 (M_n)가 있다.
◦ 가장 정확도가 높은 방법은 이차 다항식 곡선으로 근사하는 심프슨 규칙 (S_n)이다. 심프슨 규칙을 사용하려면 분할 수 n은 반드시 짝수여야 한다.
◦ 각 규칙마다 오차 한계 (Error Bounds) 공식이 존재하며, 이는 근삿값의 정확도를 수학적으로 추정하는 데 사용된다.
2. 이상 적분 (Improper Integrals): 이상 적분은 정적분의 개념을 확장하여 다음 두 가지 경우의 적분을 극한 (Limit)를 통해 정의한다.
◦ 유형 I (무한 구간): 적분 구간이 무한대(∞ 또는 −∞)를 포함하는 경우이다 (예: \displaystyle\int_a^∞f(x)dx). 이는 \displaystyle\lim\limits_{t \rightarrow \infty}\displaystyle\int_a^tf(x)dx 로 정의된다.
◦ 유형 II (불연속점): 적분 구간 내에 함수 f(x)의 무한 불연속점이 존재하는 경우이다 (예: \displaystyle\int_a^bf(x)dx에서 f(x)가 b에서 불연속일 때). 이는 \displaystyle\lim\limits_{t \rightarrow b^-}\displaystyle\int_a^tf(x)dx로 정의된다.
◦ 극한값이 존재하면 적분은 수렴(Convergent)하고, 극한값이 존재하지 않으면 발산(Divergent)한다고 한다. 또한, 비교 판정법 (Comparison Test)는 이상 적분의 수렴 여부를 직접 계산하지 않고도 판단할 수 있는 중요한 도구이다.