I. 역함수의 정의 및 미분법 (Inverse Functions and Differentiation)
1. 일대일 함수 (One-to-One Function): 함수 f가 역함수를 가지기 위해서는 반드시 일대일 함수여야 한다. 일대일 함수란 정의역의 서로 다른 두 원소 x _1, x_2에 대해 f(x _1) \ne f(x_2)를 만족하는 함수를 의미한다.
2. 역함수의 정의 및 성질: 함수 f의 역함수 f^{−1}는 f^{−1}(y)=x가 f(x)=y와 동치일 때 정의된다. 이들은 상쇄 방정식 (Cancellation Equation) f(f^{−1}(x))=x 와 f^{−1}(f(x))=x를 만족한다.
3. 역함수의 그래프: 역함수 f ^{−1}의 그래프는 원래 함수 f의 그래프를 직선 y=x에 대해 대칭 이동하여 얻는다.
4. 역함수의 도함수: 역함수를 직접 구하지 않고도 특정 지점에서의 접선 기울기(도함수)를 구할 수 있는 공식이 핵심이다. 함수 f가 미분 가능할 때, 역함수의 도함수는 다음과 같이 정의된다: (f^{−1})^′(a)=\dfrac{1}{f^′(f^{−1}(a))}
II. 지수 및 로그 함수와 그 미분적분학 (Exponential and Logarithmic Calculus)
1. 지수 함수의 정의와 미분: 일반적인 지수 함수는 f(x)=b^x형태로 정의되며, 그 도함수는 \dfrac{d}{dx}(b^x)=b^x \ln b이다. 특히, 자연 지수 함수 f(x)=e^x는 미분하여도 자기 자신이 되는 특성 \dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x을 가진다.
2. 로그 함수의 정의: 로그 함수 y=\log_b x는 지수 함수 y=b^x의 역함수로 정의된다.
3. 자연 로그 함수 \ln x: 자연 로그 \ln x는 e^x의 역함수이며, \ln x=y⟺e^y=x이다. 자연 로그 함수의 성질 (\ln(e^x)=x 및 e^{\ln x}=x)은 복잡한 지수 및 로그 방정식을 푸는 데 사용된다.
4. 자연 로그 함수의 도함수 및 적분: 자연 로그 함수의 도함수 \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}가 확립된다. 이는 \dfrac{1}{x} 형태의 함수를 적분하는 공식으로 이어진다: \displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx=\ln \vert x\vert+C
5. 로그 미분법 (Logarithmic Differentiation): 복잡한 곱셈, 나눗셈, 또는 거듭제곱이 혼합된 함수를 미분할 때, 양변에 자연 로그를 취하여 미분을 단순화하는 기술이 도입된다.
III. 역삼각 함수 및 기타 초월 함수
챕터 6은 또한 역삼각 함수 (Inverse Trigonometric Functions)와 쌍곡선 함수 (Hyperbolic Functions)를 소개하고, 이들의 도함수와 적분 공식을 확립하여 함수군의 완성도를 높이다. 예를 들어, \sin x가 일대일이 되도록 정의역을 제한하여 역삼각함수 함수 (\sin^{−1} x)를 정의하고, \tan^{−1} x 등의 도함수를 정의한다.