적분의 응용

I. 곡선 사이의 면적 (Area Between Curves)

정적분을 이용하여 두 함수로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 방법이다.

• 면적의 정의: 두 연속 함수 y=f(x)와 y=g(x)가 구간 [a,b]에서 f(x)≥g(x)를 만족할 때, 두 곡선 사이의 영역 S의 면적 A는 리만 합의 극한으로 정의된다.

• 핵심 공식 (x에 대한 적분): 면적은 상위 함수 f(x)에서 하위 함수 g(x)를 뺀 값의 정적분으로 계산된다.

A=\displaystyle\int_a ^b [f(x)−g(x)]dx

• 절댓값 함수를 이용한 일반화: 상위/하위 함수가 구간 내에서 바뀌는 경우, 면적 A는 두 함수 차이의 절댓값을 적분하여 구한다.

A=\displaystyle\int_a ^b \vert{f(x)−g(x)}\vert dx

• y에 대한 적분: 때로는 x를 y의 함수로 표현하여 x=f(y)와 x=g(y) 사이의 면적을 구하는 것이 더 쉬울 수 있다. 이때 y축 방향으로 직사각형을 쌓으며 적분한다.

A=\displaystyle\int_c ^d [f(y)−g(y)]dy

II. 부피 계산: 단면적 방법 (Volume by Slicing) 및 회전체의 부피 (Solids of Revolution)

단면적을 적분하여 입체의 부피를 구하는 일반적인 방법과, 영역을 회전시켜 얻는 특수한 입체(회전체)의 부피를 구하는 방법이다.

• 부피의 정의 (Slicing Method): 입체를 x=a부터 x=b까지 자르는 단면의 넓이 A(x)를 알고 있을 때, 이 단면적 A(x)를 적분하여 전체 부피 V를 구한다. 이는 리만 합 V≈\displaystyle\sum A(x_i)Δx의 극한을 취한 것이다.

V=\displaystyle\int_a ^b A(x)dx

• 회전체의 부피 (Disk Method): 영역이 회전축과 인접해 있을 때 사용한다. 단면이 반지름 r인 원(disk) 모양이며, 단면적은 A(x)=\pi r^2이다.

• 회전체의 부피 (Washer Method): 영역이 회전축과 떨어져 있을 때 사용한다. 단면은 가운데가 뚫린 원형(washer) 모양이며, 바깥 반지름 R과 안쪽 반지름 r을 사용하여 단면적을 계산한다.

A=\pi R^2 −\pi r^2=\pi(R^2 −r^2)

III. 부피 계산: 원통 껍질 방법 (Method of Cylindrical Shells)

회전축에 수직인 단면을 이용하는 방법이 복잡할 경우, 축에 평행한 얇은 원통 껍질(cylindrical shell)을 쌓아 부피를 계산하는 방법을 도입한다.

• 원통 껍질의 부피 (근사): 얇은 원통 껍질의 부피는 (둘레) × (높이) × (두께)로 근사된다.

ΔV=2π(반지름)⋅(높이)⋅Δx

• 핵심 공식 (y축 회전): 함수 y=f(x)를 y축 주변으로 회전시킬 때 (반지름 x, 높이 f(x)), 부피 V는 다음과 같다.

V=\displaystyle\int_a ^b 2\pi xf(x)dx

• 활용: 이 방법은 회전축에 평행한 직사각형을 사용하므로, 5.2절의 단면적 방법이 y에 대한 적분을 요구할 때 x에 대한 적분으로 쉽게 문제를 해결할 수 있게 한다.

IV. 일 (Work)

이 섹션은 변하는 힘(Variable Force)에 의해 수행된 일의 양을 계산하는 물리적 응용을 다룬다.

• 일의 정의 (Constant Force): 힘 F가 상수일 때 일 W는 W=Fd (힘 × 이동 거리) 이다.

• 일의 정의 (Variable Force): 힘 F(x)가 거리에 따라 변할 때, 일 W는 힘 함수를 거리 구간 [a,b]에 대해 적분하여 정의된다. 이는 W≈\sum F(x_i^∗)Δx의 극한이다.

W=\displaystyle\int_a ^b F(x)dx

• 훅의 법칙 (Hooke's Law): 용수철을 자연 길이에서 x만큼 변위시키는 데 필요한 힘은 F(x)=kx이다 (k는 용수철 상수). 이 법칙은 용수철을 늘이거나 압축하는 데 필요한 일을 계산하는 데 사용된다.

• 액체 양수 문제: 물탱크에서 액체를 퍼 올리는 데 필요한 일. 이는 액체 층을 얇게 썰어 (단면적 A(x)), 각 층을 들어 올리는 데 필요한 힘 (무게)과 거리를 곱한 후 적분하여 계산한다.

V. 함수의 평균값 (Average Value of a Function)

정적분을 활용하여 함수의 구간 평균값을 정의하고, 이와 관련된 중요한 정리(평균값 정리의 적분 형태)를 배운다.

• 함수의 평균값 (Average Value): 함수 f(x)의 구간 [a,b]에서의 평균값 f_{avg}는 정적분과 구간의 길이를 이용하여 정의된다.

f_{avg}=\dfrac{1}{b−a}\displaystyle\int_a ^b f(x)dx

• 평균값 정리 (Mean Value Theorem for Integrals): 함수 f가 구간 [a,b]에서 연속이면, 그 구간 내에 f(c)=f_{avg}를 만족하는 수 c가 적어도 하나 존재한다.

• 기하학적 해석: 이는 y=f(c)라는 상수 함수의 높이를 가진 직사각형의 면적이, 원래 함수 y=f(x)의 곡선 아래 면적(\displaystyle\int_a ^b f(x)dx)과 동일함을 의미한다.