적분

I. 면적 문제 및 정적분 (Area Problem and The Definite Integral)

곡선 아래의 면적을 구하는 면적 문제(Area Problem)를 통해 적분 개념을 도입한다.

1. 면적과 거리의 근사

• 면적 문제의 정의: 함수 y=f(x) (단, f(x)≥0)와 x축, 그리고 구간 [a, b]로 둘러싸인 영역의 넓이 A를 구하는 문제이다.

• 리만 합의 도입: 면적 A를 구하기 위해 구간 [a, b]를 n개의 작은 직사각형으로 분할하고, 직사각형의 넓이 합으로 근사한다.

• 상합과 하합 (Upper Sums R_n and Lower Sums L_n): 직사각형의 높이를 각 소구간의 최댓값(상합) 또는 최솟값(하합)으로 취하여 면적의 근삿값을 구한다.

• 참 면적 A: 참 면적 A는 n이 무한대로 갈 때 상합과 하합이 수렴하는 극한값으로 정의된다.

• 거리 문제 (Distance Problem): 속도 함수 v(t)가 주어졌을 때, 시간 구간 [t_1 ,t_2] 동안 이동한 거리는 v(t) 그래프 아래의 면적과 같으며, 이 또한 리만 합의 극한으로 근사된다.

2. 정적분의 정의(The Definite Integral)

• 정적분 (Definite Integral)의 정의: 함수 f가 구간 [a,b]에서 정의될 때, 정적분은 리만 합의 극한으로 엄밀하게 정의된다.

\displaystyle\int^b _a f(x)dx= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x

• 리만 합 (Riemann Sum): 소구간 내의 임의의 표본점 x_i^*를 사용하여 얻는 합이며, 극한을 취하면 정적분 값이 된다.

• 정적분의 기하학적 해석: 정적분 값은 순 면적 (Net Area)를 의미한다. x축 위의 면적은 양수, x축 아래의 면적은 음수로 계산된다.

3. 정적분의 성질 (Properties of the Definite Integral)

• 정적분의 선형성 (합, 차, 상수배 규칙).

• 구간의 가산성: \displaystyle\int_a ^bf(x)dx+\displaystyle\int_b ^c f(x)dx=\displaystyle\int_a ^c f(x)dx

• 적분 구간 반전: \displaystyle\int_a ^bf(x)dx=-\displaystyle\int_b ^a f(x)dx

• 비교 성질 (Comparison Properties): 함수가 갖는 최댓값 M과 최솟값 m을 이용해 정적분 값의 범위를 추정한다: m(b−a)≤\displaystyle\int_a ^b f(x)dx≤M(b−a)

II. 미분적분학의 기본 정리 (The Fundamental Theorem of Calculus)

이 섹션은 미분과 적분 사이의 근본적인 관계를 정립하고, 정적분을 계산하는 효율적인 방법을 제공한다.

4. FTC 제1정리 (FTC Part 1)

• 면적 함수와 도함수의 관계: 구간 [a,x]에서의 면적 함수 g(x)를 g(x)=\displaystyle\int_a ^x f(t)dt로 정의할 때, g(x)의 도함수는 원래 함수 f(x)이다.

\dfrac{d}{dx} \displaystyle\int_a ^x f(t)dt=f(x)

• 의미: 이는 적분은 미분의 역 연산임을 수학적으로 증명하는 정리이다.

5. FTC 제2정리 (FTC Part 2)

• 정적분 계산: 함수 F(x)가 f(x)의 임의의 부정적분(즉, F′(x)=f(x))일 때, 정적분은 부정적분 값을 이용하여 쉽게 계산된다.

\displaystyle\int_a ^b f(x)dx=F(b)−F(a)

• 의미: 복잡한 리만 합의 극한 계산 없이, 부정적분만 찾으면 정적분 값을 정확히 구할 수 있다.

III. 부정적분 및 변화율 (Indefinite Integrals and Rates of Change)

FTC2를 바탕으로 부정적분 자체를 공식화하고 변화율 문제에 다시 적용한다.

6. 부정적분 (Indefinite Integrals)

• 부정적분 정의: f(x)의 부정적분 \displaystyle\int f(x)dx는 F^′(x)=f(x)를 만족하는 함수 F(x)+C이다 (C는 임의의 상수).

• 기본 부정적분 공식: 멱함수, 삼각 함수 등 기본적인 함수의 부정적분 공식들을 확립한다.

7. 순 변화량 정리 (Net Change Theorem)

• 정적분은 변화율의 누적된 효과(Accumulated Change)를 측정한다.

\displaystyle\int_a ^b F^′(x)dx=F(b)−F(a)

• 응용 (속도와 거리):

◦ 변위(Displacement): \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)dt=s(t_2)−s(t_1) (속도의 정적분).

◦ 총 이동 거리 (Total Distance): \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \vert v(t)\vert dt (속력의 정적분).

IV. 치환 적분법 (The Substitution Rule)

적분 계산의 효율성을 높이기 위한 가장 중요한 기술을 학습한다.

• 치환 적분법 (Substitution Rule): 합성 함수의 미분에 사용되었던 연쇄 법칙(Chain Rule)의 역 연산을 적분에서 수행하는 기법이다.

\displaystyle\int f(g(x))g^′(x)dx=\displaystyle\int f(u)du

여기서 u=g(x)로 치환하고 du=g'(x)dx를 이용하여 적분 변수를 바꾼다.

• 정적분에서의 치환: 변수를 u로 치환할 경우, 적분 경계 a와 b도 u에 대한 값 g(a)와 g(b)로 변경해야 한다.

• 대칭 함수 적분 (Symmetry): 치환 적분법을 활용하여 대칭 구간 [−a,a]에 대한 짝함수와 홀함수의 정적분 성질을 증명한다.

◦ 짝함수 f: \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)dx=2\displaystyle\int_0 ^a f(x)dx

◦ 홀함수 f: \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)dx=0