미분법의 응용

I. 함수의 최댓값, 최솟값 및 임계점 (Extreme Values and Critical Numbers)

• 극값 (Extreme Values): 함수 f의 절댓값 최댓값 (Absolute Maximum) 또는 절댓값 최솟값 (Absolute Minimum)을 통칭한다.

• 극대값 및 극소값 (Local Maximum and Minimum): 특정 열린 구간 내에서 함수값이 가장 크거나 작은 지점을 정의한다.

• 최대/최소 정리 (Extreme Value Theorem): 닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f는 반드시 절댓값 최댓값과 절댓값 최솟값을 가진다.

• 페르마의 정리 (Fermat's Theorem): 함수 f가 c에서 극대값 또는 극소값을 가지고 f^′(c)가 존재하면, 반드시 f^′(c)=0이다.

• 임계점 (Critical Number): 정의역에 속하는 수 c 중에서 f^′(c)=0 이거나 f^′(c)가 존재하지 않는 (undefined) 수를 임계점이라 하며, 극값은 오직 임계점 또는 구간의 경계에서만 발생할 수 있다.

II. 평균값 정리 및 롤의 정리 (Rolle's Theorem and Mean Value Theorem)

이 정리들은 함수의 미분값이 0이 되거나 특정 기울기와 같아지는 지점의 존재성을 보장하는 중요한 이론적 토대이다.

• 롤의 정리 (Rolle's Theorem): 함수 f가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고 열린 구간 (a,b)에서 미분 가능하며, f(a)=f(b) 이면, f^′(c)=0 인 c가 (a,b) 내에 적어도 하나 존재한다.

• 평균값 정리 (Mean Value Theorem, MVT): 함수 f가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고 열린 구간 (a,b)에서 미분 가능하면, 할선의 기울기와 같은 미분값을 갖는 c가 (a,b) 내에 적어도 하나 존재한다. f^′(c)=\dfrac{f(b)−f(a)}{b−a}.

• MVT의 중요한 결과: 어떤 구간 (a,b)에서 f^′(x)=0 이면, f는 그 구간에서 상수 함수 (Constant Function)이다. 또한, f'(x)=g'(x) 이면 f(x)=g(x)+C이다.

III. 도함수를 이용한 함수의 형태 분석 (Shape of a Function using Derivatives)

도함수의 부호를 분석하여 함수의 그래프가 어떻게 생겼는지 파악한다.

• 증가/감소 판정법 (Increasing/Decreasing Test):

◦ f'(x)>0 이면 f는 증가 함수이다.

◦ f′(x)<0 이면 f는 감소 함수이다.

• 1계 도함수 판정법 (First Derivative Test): 임계점 c에서 f^′(x)의 부호가 양수(+)에서 음수(-)로 바뀌면 f(c)는 극대값이며, 음수(-)에서 양수(+)로 바뀌면 극소값이다.

• 오목성 (Concavity):

◦ f^{′′}(x)>0 이면 f의 그래프는 아래로 볼록 (Concave Upward, CU)이다.

◦ f^{′′}(x)<0 이면 f의 그래프는 위로 볼록 (Concave Downward, CD)이다.

• 변곡점 (Inflection Point): 함수의 오목성이 바뀌는 지점이며, 주로 f^{′′}(x)=0 이거나 f^{′′}(x)가 존재하지 않는 점에서 발생한다.

• 2계 도함수 판정법 (Second Derivative Test): f'(c)=0 인 임계점 c에 대해, f''(c)>0 이면 f(c)는 극소값이며, f''(c)<0 이면 극대값이다.

IV. 점근선 및 극한 (Asymptotes and Limits)

함수의 형태를 분석하는 데 필수적인, 무한대에서의 극한과 점근선을 다룬다.

• 무한대에서의 극한 (Limits at Infinity): x가 ∞ 또는 −∞로 갈 때 함수 f(x)가 수렴하는 값 L을 찾는 과정이다. \displaystyle\lim_{x→∞}f(x)=L

• 수평 점근선 (Horizontal Asymptotes): 극한값이 L로 수렴할 때, 직선 y=L이 수평 점근선이 된다.

• 극한의 엄밀한 정의: 무한대에서의 극한도 엄밀한 ϵ−N 정의로 설명된다.

• 사선 점근선 (Slant Asymptotes): x→±∞ 일 때 함수 f(x)가 직선 y=mx+b에 가까워지면, 이 직선이 사선 점근선이 된다.

V. 그래프 개형 그리기 (Curve Sketching)

이전 섹션들에서 배운 모든 도구를 통합하여 함수의 그래프를 정확하게 그리는 방법을 체계적으로 정리한다.

• 그래프 그리기 단계: 정의역, 절편, 대칭성, 점근선, 증가/감소 구간, 극값, 오목성, 변곡점 등을 모두 파악하여 최종 그래프를 완성한다.

• 대칭성:

◦ 짝함수 (Even function, f(−x)=f(x)): y축 대칭.

◦ 홀함수 (Odd function, f(−x)=−f(x)): 원점 대칭.

• 주기 함수 (Periodic function): f(x+p)=f(x)를 만족하며, 주기 p에 따라 그래프가 반복된다.

VI. 최적화 문제 (Optimization Problems)

도함수의 가장 중요한 실생활 응용이다. 특정 제약 조건 하에서 최대 이익, 최소 비용, 최대 면적 등을 찾는 문제를 해결한다.

• 문제 해결 단계:

1. 최대/최소화하려는 양(Quantity to be optimized)을 변수 Q로 표현한다.

2. 제약 조건(Constraint)을 사용하여 Q를 단일 변수의 함수 f(x)로 만든다.

3. f(x)의 정의역을 결정한다.

4. f'(x)=0 인 임계점을 찾고, 1계 또는 2계 도함수 판정법과 경계값 검사를 통해 절댓값 극값을 결정한다.

• 경제학적 응용: 도함수가 한계 비용 (Marginal Cost, C'(x)), 한계 수입 (Marginal Revenue, R'(x)), 한계 이윤 (Marginal Profit, P' (x))를 의미하며, 이윤이 최대화되는 지점은 R'(x)=C'(x) 일 때 발생한다는 개념을 다룬다.

VII. 뉴턴의 방법 (Newton's Method)

방정식 f(x)=0의 해를 근사적으로 찾는 수치 해석적 방법이다.

• 목표: 대수적으로 풀기 어려운 방정식의 해를 접선을 이용하여 점진적으로 근사한다.

• 반복 공식 (Iterative Formula): 초기 근삿값 x_n 으로부터 다음 근삿값 x_{n+1}을 구한다.

x_{n+1}=x_n− \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}​

VIII. 부정적분 (Antiderivatives)

미분적분학의 또 다른 핵심인 적분으로 넘어가기 위한 교량 역할을 한다.

• 부정적분 (Antiderivative)의 정의: 함수 F(x)가 어떤 함수 f(x)의 도함수, 즉 F'(x)=f(x) 일 때, F(x)를 f(x)의 부정적분이라고 정의한다.

• 일반 부정적분 (General Antiderivative): f(x)의 일반 부정적분은 F(x)+C (단, C는 임의의 상수)로 표현되며, 미분적분학의 기본 정리로 이 관계가 보장된다.

• 미분 방정식 (Differential Equations): 가속도 a(t)나 속도 v(t)와 같은 변화율 정보가 주어졌을 때, 부정적분을 통해 원래의 속도 v(t)나 위치 함수 s(t)를 복원한다.