도함수

I. 도함수의 정의 및 해석

1. 도함수의 정의와 기하학적 의미(The Derivative Defined)

• 도함수의 정의(Definition of the Derivative): 함수 f(x)의 점 x=a에서의 도함수 f'(a)는 할선(secant line)의 기울기의 극한값으로 정의된다.

f'(a)=\lim\limits_{x \rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}f'(a)=\lim\limits_{h \rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}• 기하학적 해석: f'(a)는 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))에서의 접선의 기울기(tangent line slope)를 나타낸다.

• 물리학적 해석: 도함수는 위치 함수 s(t)에 대해 순간 속도(instantaneous velocity) v(a)를 제공하며, 이는 접선의 기울기와 같다.

2. 도함수 함수 및 연속성(The Derivative Function and Continuity)

• 도함수 함수 f'(x): 도함수를 특정 점 a가 아닌, 일반적인 변수 x에 대한 함수로 정의한다. f'(x)는 y=f(x) 위의 모든 점에서의 접선의 기울기를 나타낸다.

• 미분 가능성 및 연속성(Differentiability and Continuity):

◦ 정리 (Theorem): 함수 f가 s에서 미분 가능하면 (즉, f'(a)가 존재하면), f는 a에서 연속이다.

◦ 주의: 역은 성립하지 않는다. 함수가 연속이더라도 미분 가능하지 않을 수 있다(예: f(x)=|x|는 x=0에서 연속이지만 미분 불가능하다).

• 고계 도함수 (Higher Derivatives): 도함수를 다시 미분하여 이계 도함수(second derivative) f''(x)나 삼계 도함수(third derivative) f'''(x) 등을 정의하며, 이는 가속도(acceleration) a(t)를 나타낸다.

II. 미분 계산 공식 및 연산

3. 미분 기본 공식(Differentiation Rules)

• 라이프니츠 표기법(Leibniz Notation): \dfrac{dy}{dx}를 도입하여 도함수를 표기한다.

• 멱법칙(Power Rule): (x^n)'=nx^{n-1}• 상수배/합/차 규칙: (cf(x))'=cf'(x) 및 (f\pm g)'=f'\pm g'

• 곱의 법칙(Product Rule): (fg)'=fg'+gf'• 몫의 법칙 (Quotient Rule): ​ (fg)'=\dfrac{gf'-gf'}{g^2} 4. 삼각 함수의 도함수(Derivatives of Trigonometric Functions)

• 극한 법칙 \lim\limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{sin\theta}{\theta}=1 등을 활용하여 삼각 함수의 도함수를 정의한다.

• 핵심 공식:

◦ (\sin x)'=\cos x

◦ (\cos x)'=-\sin x ◦ (\tan x)'=\sec^2 x • 응용: 물체의 단순 조화 운동(Simple Harmonic Motion) 분석에 사용된다(예: s(t)=4\cos t ).

5. 연쇄 법칙(Chain Rule)

• 핵심 원리: 합성 함수 F(x)=f(g(x))의 도함수를 계산하는 규칙이다.

• 공식: F'(x)=g'(g(x))\cdot g'(x)

• 라이프니츠 표기: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}

• 일반화된 멱법칙(Generalized Power Rule): (u^n)'=v^{n-1}\dfrac{du}{dx}. 이는 연쇄 법칙의 가장 흔한 응용 형태이다.

III. 심화 미분 기법 및 응용

6. 음함수 미분법((Implicit Differentiation)

• 개념: y가 x의 명시적인 함수로 주어지지 않고 x와 y가 섞인 방정식(음함수)으로 주어질 때 \dfrac{dy}{dx}를 구하는 방법이다(예: x^2+y^2=25).

• 방법: 방정식의 양변을 x에 대해 미분할 때, y를 x의 함수로 간주하여 연쇄 법칙을 적용한다 (예: \dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\cdot y')

7. 연관 변화율(Related Rates)

• 핵심 주제: 서로 연관된 여러 변수가 시간에 따라 변화할 때, 한 변수의 변화율을 이용하여 다른 변수의 변화율을 찾는 응용 문제 해결 기법이다.

• 해결 과정: 변수 사이의 관계식을 설정하고, 그 식을 시간에 대해 음함수 미분하여(Chain Rule을 이용하여) 변화율(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt} 등) 사이의 관계를 얻는다(예: 부피가 늘어나는 구의 반지름 변화율 계산).

8. 다양한 변화율((Rates of Change)

• 도함수를 평균 변화율의 극한으로 다시 정의하면서, 이를 물리학 및 경제학 등 다양한 분야의 변화율에 적용한다.

• 응용 예시:

◦ 순간 속도 및 가속도.

◦ 선밀도(Linear Density, 질량의 변화율).

◦ 화학 반응 속도(Concentration의 시간에 따른 변화율).

◦ 한계 비용(Marginal Cost, 비용 함수의 도함수).

9. 선형 근사와 미분(Linear Approximations and Differentials)

• 선형화 (Linearization): 함수 f(x)를 특정 점 a 근처에서 접선 L(x)=F(a)+f'(a)(x-a)을 사용하여 근사하는 방법이다.

• 미분 (Differentials): 실제 변화량 Δy를 근사하기 위해 도함수를 사용하여 dy=f'(x)dx를 정의한다. dy는 Δy의 근삿값으로 활용된다.

• 응용: 복잡한 함수값이나 측정 오차의 영향을 추정하는 데 유용하다(예: \sqrt{3.98}과 같은 값을 근사).