I. 함수의 기초 및 종류(Functions: Definition and Catalog)
1. 함수의 정의 및 그래프
• 함수의 정의 (Definition of Function): 두 집합 D와 E 사이의 관계에서, 집합 D의 각 원소 x에 집합 E의 단 하나의 원소 y가 대응되는 규칙이다.
• 정의역과 치역 (Domain and Range): x의 집합이 정의역(D)이며, 함숫값 f(x)가 이루는 집합이 치역이다. x는 독립변수(independent variable)이며 y 또는 f(x)는 종속변수(dependent variable)이다.
• 함수의 그래프 (Graph of a Function): 순서쌍들의 집합 \{(x, f(x))∣x ∈ D\}으로 정의된다.
• 함수의 대칭성:
◦ 짝함수 (Even Function): f(-x) = f(x)를 만족하며 y축에 대칭이다.
◦ 홀함수 (Odd Function): f(-x) = -f(x)를 만족하며 원점에 대칭이다.
• 구간별 정의된 함수 (Piecewise Defined Function): 정의역의 구간에 따라 식이 다르게 정의되며, 이 범주에 절댓값 함수 f(x) = |x|의 정의(a ≥ 0 일 때 a, a < 0일 때 -a)가 포함된다.
2. 필수 함수의 범주
• 다항 함수 (Polynomial Functions): P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{0}형태이며, 정의역은 실수 전체 R이다. 차수(degree)와 최고차항의 계수(leading coefficient)가 중요하다.
• 유리 함수 (Rational Functions): 두 다항 함수의 비 \dfrac{P(x)}{Q(x)}로 표현되며, 정의역은 분모 Q(x) ≠ 0인 지점을 제외한 집합이다.
• 거듭제곱 함수 (Power Functions): f(x)=x^a 형태이다.
• 초월 함수 (Transcendental Functions): 대수적이지 않은 함수들로, 삼각 함수(\sin x, \cos x, \tan x), 지수 함수(b^x), 로그 함수(log_{b}x) 등이 여기에 포함된다. 삼각 함수는 주기성과 치역(예: -1 ≤ \sin x ≤ 1)이 핵심이다.
3. 함수 변환 및 합성
• 그래프 변환 (Transformation): 평행 이동(y = f(x) \pm c, y=f(x \pm c)), 신장/압축(y=cf(x), y=f(cx)), 대칭 이동(y=-f(x), y=f(-x))의 규칙을 이해한다.
◦ 특히, 절댓값 변환 (y = |f(x)|)은 x축 아래 부분을 위로 대칭 이동하는 기술로 다뤄진다.
• 합성 함수 (Composite Function): (f∘g)(x) = f(g(x)) 로 정의되며, 한 함수의 출력이 다른 함수의 입력이 되는 관계이다.
II. 극한의 개념 및 엄밀성 (The Concept and Rigor of Limits)
4. 접선과 속도 문제
• 접선의 기울기: 곡선 위의 한 점 P에서의 접선 기울기는, P를 향해 이동하는 점 Q를 지나는 할선(secant line)의 기울기의 극한값으로 정의된다.
• 순간 속도 (Instantaneous Velocity): 특정 시점에서의 속도는 위치 함수의 그래프에 대한 접선 기울기와 같으며, 이는 평균 속도의 극한값이다.
5. 극한의 직관적 이해
• 극한의 개념 (Limit Concept): x가 a에 가까워질 때 f(x)가 값 L에 가까워지면 \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=L라고 정의한다(직관적 정의).
• 극한 존재 조건: 극한이 존재하려면 좌극한(\lim\limits_{x \rightarrow a^-}f(x))과 우극한(\lim\limits_{x \rightarrow a^+}f(x))이 같아야 한다.
• 무한 극한 및 점근선: 함수값이 무한대로 커지거나 작아질 때 (±∞) 수직 점근선이 발생한다.
6. 극한 법칙 및 계산
• 극한 법칙(Limit Laws): 함수의 합, 차, 상수배, 곱, 몫에 대한 극한은 각각의 극한값에 동일한 연산을 적용할 수 있다.
• 압축 정리 (Squeeze Theorem): f(x)\le g(x)\le h(x)이고 f(x)와 h(x)의 극한이 L로 같다면, g(x)의 극한도 L이라는 정리이다(이는 \lim\limits_{\theta \rightarrow 0}\dfrac{sin\theta}{\theta}=1과 같은 중요한 극한값을 증명하는 데 사용된다.).
7. 극한의 엄밀한 정의
• ϵ−δ 정의: \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=L라는 직관적인 아이디어를 엄격하게 수학적으로 증명하기 위해 사용된다. "임의의 양수 ϵ에 대해, 0 < |x−a| < δ이면 |f(x)−L| < ϵ을 만족하는 양수 δ가 존재한다"는 것이 핵심이다.
III. 연속성(Continuity)
• 연속의 정의(Definition of Continuity): 함수 f가 점 a에서 연속이라는 것은 \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)를 만족하는 것이다.
• 연속의 세 가지 조건: 1) f(a)가 정의됨, 2) \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)가 존재함, 3) 둘이 같음.
• 연속 함수의 특성: 다항 함수는 항상 연속이며, 연속 함수들의 사칙연산 결과 및 합성 함수 또한 연속이다(단, 분모가 0이 아닌 경우).
• 중간값 정리 (Intermediate Value Theorem, IVT): 연속 함수는 닫힌 구간 [a,b]에서 f(a)와 f(b) 사이의 모든 값(N)을 반드시 취해야 한다는 정리이다. 이는 방정식의 근(해)의 존재성을 증명하는 데 활용된다.