자기 결합 회로망

1. 서론: 자기장을 통한 회로의 연결

지금까지는 소자들이 도선으로 직접 연결된 회로만 다루었지만, 실제 전력 시스템이나 통신 회로에서는 물리적으로 떨어져 있어도 자기장(Magnetic Field)을 통해 에너지를 교환하는 경우가 많다. 이 장에서는 이러한 자기 결합 현상을 회로 소자인 상호 인덕턴스(Mutual Inductance)와 변압기(Transformer)로 모델링하여 해석하는 법을 배운다.

2. 상호 인덕턴스 (Mutual Inductance)

2.1 정의 및 원리

⦁상호 유도: 한 코일(1차측)에 흐르는 시변 전류가 자기장을 만들고, 이 자기장이 인접한 다른 코일(2차측)을 통과하면서(쇄교하면서) 2차측에 전압을 유기시키는 현상이다.

⦁상호 인덕턴스 (M): 1차측 전류의 변화율에 대해 2차측에 유도되는 전압의 비례 상수로, 단위는 헨리(H)이다.

v_2(t) = M \dfrac{di_1(t)}{dt}

※ 물론, 반대로 2차측 전류 변화가 1차측에 전압을 유기하기도 하며, 이때의 비례 상수도 동일한 M이다.

2.2 점 규약 (Dot Convention)

상호 인덕턴스에 의해 유도되는 전압의 극성(Polarity)을 결정하는 매우 중요한 약속이다.

⦁규칙: "한 코일의 점이 찍힌 단자로 전류가 흘러들어오면, 다른 코일의 점이 찍힌 단자에 양(+)의 전압이 유기된다.“

⦁이를 회로 방정식(KVL)에 적용할 때, 유도 전압의 부호를 올바르게 설정하는 것이 해석의 핵심이다.

3. 에너지와 결합 계수 (Energy and Coupling Coefficient)

3.1 축적된 에너지

자기 결합된 두 코일에 저장되는 전체 에너지는 각 코일의 자기 에너지와 상호 작용에 의한 에너지의 합이다.

w(t) = \dfrac{1}{2}L_1 i_1^2 + \dfrac{1}{2}L_2 i_2^2 \pm M i_1 i_2

여기서 M항의 부호는 점 규약과 전류 방향에 따라 결정된다 (전류가 둘 다 점으로 들어가거나 둘 다 나오면 +, 하나는 들어가고 하나는 나오면 -).

3.2 결합 계수 (k)

두 코일 사이의 자기적 결합 정도를 나타내는 척도이다.

k = \dfrac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}

⦁범위: 0 \le k \le 1

⦁의미: k=1이면 누설 자속이 없는 완전 결합(Unity Coupling) 상태이고, k=0이면 자기적 결합이 전혀 없는 상태이다.

4. 선형 변압기 (Linear Transformer)

공심(Air-core) 코일과 같이 자성체의 투자율이 일정하여 선형성을 유지하는 변압기이다.

⦁해석법: 회로에 j\omega L_1, j\omega L_2, j\omega M 임피던스를 모델링하고, 메쉬(Mesh) 해석법을 적용하여 1차측과 2차측의 KVL 방정식을 세워 푼다.

⦁반사 임피던스 (Reflected Impedance): 1차측에서 바라본 등가 임피던스는 2차측의 부하 임피던스가 상호 인덕턴스를 통해 1차측으로 건너온(반사된) 항을 포함한다.

Z_{in} = Z_{11} + \dfrac{(\omega M)^2}{Z_{22}}

5. 이상적인 변압기 (Ideal Transformer)

철심(Iron-core) 변압기와 같이 결합이 매우 강하고 효율이 높은 변압기를 해석하기 위한 이상적인 모델이다.

⦁조건

- 완전 결합이다 (k=1).

- 자체 인덕턴스가 무한대이다 (L_1, L_2 \rightarrow \infty).

- 손실이 없다 (권선 저항 및 자심 손실 무시).

⦁권선비 (n): 2차측 권선수(N_2) 대 1차측 권선수(N_1)의 비이다 (n = N_2 / N_1).

⦁주요 관계식

- 전압: V_2 = n V_1 (전압은 권선비에 비례)

- 전류: I_2 = \dfrac{1}{n} I_1 (전류는 권선비에 반비례)

- 임피던스 변환: 1차측에서 본 2차측 부하 Z_L의 등가 임피던스는 권선비의 제곱으로 나눈 값이다.

Z_{in} = \dfrac{Z_L}{n^2}