저항 회로

1. 서론: 선형 회로 해석의 시작

이 장에서는 가장 기본적인 수동 소자인 저항(Resistor)으로 구성된 회로를 해석하는 방법을 다룬다. 1장에서 배운 전압과 전류의 개념을 바탕으로, 소자 간의 상호작용을 규명하는 물리적 법칙들을 익히는 것이 핵심이다.

2. 옴의 법칙 (Ohm's Law)

회로 해석의 가장 기본이 되는 법칙으로, 전압과 전류의 선형적인 관계를 나타낸다.

⦁정의: 저항 양단에 걸리는 전압(v)은 흐르는 전류(i)에 비례한다. 이때의 비례 상수를 저항(R)이라 한다.

⦁수식: v(t) = R i(t)

⦁전력(Power): 저항은 에너지를 소비하는 소자이다. 저항에서 소비되는 전력은 다음과 같이 표현된다.

p(t) = v(t)i(t) = i^2(t)R = \dfrac{v^2(t)}{R}

⦁컨덕턴스(Conductance, G): 저항의 역수로, 전류가 얼마나 잘 흐르는지를 나타내는 척도이다. 단위는 지멘스(S)를 사용한다.

G = \dfrac{1}{R}, \quad i(t) = G v(t)

⦁단락과 개방:

- 단락 회로(Short Circuit): 저항이 0인 상태 (R=0). 전압은 항상 0이다 (v=0).

- 개방 회로(Open Circuit): 저항이 무한대인 상태 (R=\infty). 전류는 항상 0이다 (i=0).

3. 키르히호프의 법칙 (Kirchhoff's Laws)

회로망(Network) 내의 전압과 전류를 구하기 위한 두 가지 보존 법칙이다.

3.1 회로 용어의 정의

⦁노드(Node): 2개 이상의 회로 소자가 만나는 접속점이다.

⦁루프(Loop): 회로 내에서 시작점과 끝점이 같은 폐경로(Closed Path)이다.

⦁가지(Branch): 단일 회로 소자와 그 양 끝의 노드를 포함하는 구간이다.

3.2 키르히호프의 전류 법칙 (KCL)

⦁개념: 전하 보존의 법칙에 기반한다. 노드에 전하가 축적되지 않음을 의미한다.

⦁정의: 임의의 노드로 들어오거나 나가는 전류의 대수적 합은 0이다.

\displaystyle\sum_{j=1}^{N} i_j(t) = 0

3.3 키르히호프의 전압 법칙 (KVL)

⦁개념: 에너지 보존의 법칙에 기반한다.

⦁정의: 임의의 폐경로(루프)를 따라 일주했을 때, 전압 상승과 전압 강하의 대수적 합은 0이다.

\displaystyle\sum_{j=1}^{N} v_j(t) = 0

4. 단일 루프 및 단일 노드쌍 회로 해석

4.1 직렬 회로와 전압 분배 (Voltage Division)

⦁소자들이 직렬로 연결되면 동일한 전류가 흐른다.

⦁직렬 연결된 저항들의 등가 저항(R_s)은 각 저항의 합과 같다.

R_s = R_1 + R_2 + \cdots + R_N

⦁전압 분배 법칙: 전체 전압은 각 저항의 크기에 비례하여 분배된다.

v_k = \dfrac{R_k}{R_s} v_{total}

4.2 병렬 회로와 전류 분배 (Current Division)

⦁소자들이 병렬로 연결되면 양단에 동일한 전압이 걸린다.

⦁병렬 연결된 저항들의 등가 저항(R_p)의 역수는 각 저항의 역수의 합과 같다.

\dfrac{1}{R_p} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \cdots + \dfrac{1}{R_N}

⦁전류 분배 법칙: 전체 전류는 각 저항의 크기에 반비례하여 분배된다. (저항이 작은 쪽으로 전류가 더 많이 흐른다.)

- 두 개의 저항 R_1, R_2가 병렬일 때 R_1에 흐르는 전류 i_1은 다음과 같다.

i_1 = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} i_{total}

5. 와이-델타 (Y-\Delta) 변환

직렬이나 병렬로 단순화할 수 없는 회로(예: 브리지 회로)를 해석할 때 사용하는 강력한 도구이다. 3단자 회로망의 형태를 변환하여 등가 회로를 만든다.

⦁\Delta \rightarrow Y 변환: \Delta 회로의 저항 R_a, R_b, R_c를 알고 있을 때, 등가 Y 회로의 저항 R_1은 다음과 같이 구한다. (다른 저항들도 유사한 패턴을 따름)

R_1 = \dfrac{R_b R_c}{R_a + R_b + R_c}

⦁Y \rightarrow \Delta 변환: Y 회로의 저항 R_1, R_2, R_3를 알고 있을 때,

R_a = \dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1}

6. 종속 전원 (Dependent Sources)이 포함된 회로

종속 전원은 트랜지스터나 증폭기 같은 능동 소자를 모델링하는 데 필수적이다.

⦁해석 전략:

1) 종속 전원도 독립 전원과 마찬가지로 취급하여 KVL, KCL 방정식을 세운다.

2) 종속 전원의 값을 제어하는 변수(제어 전압 또는 제어 전류)에 대한 관계식(제어 방정식)을 추가로 세운다.

3) 연립 방정식을 풀어 미지수를 구한다.

⦁주의할 점은 종속 전원은 회로 내부의 상태에 따라 값이 변하므로, 함부로 전원을 끄거나(Superposition 등에서) 저항을 합성할 때 주의해야 한다는 점이다.