교류 회로

1. 교류 전압, 전류 및 실효값

1.1. 교류 전원 및 위상자

• 순간 전압 (\mathbf{\Delta v}): 교류 전원의 전압은 시간에 따라 사인형(Sinusoidal)으로 변화한다.

※ \Delta V_{\max}: 최대 전압.

※ \omega: 각진동수 (\omega = 2\pi f).

• 위상자 (Phasor): 교류 회로의 전류와 전압을 회전하는 벡터(Phasor)로 나타낸다. 위상자는 회로 요소 간의 위상 관계를 시각적으로 분석하는 데 사용된다.

1.2. 실효값 (RMS, Root-Mean-Square)

교류 회로에서 전력을 계산할 때 사용되는 실효값은 직류(DC) 회로와 동일한 전력을 소비하는 등가적인 직류 전압/전류 값이다.

\mathbf{I_{\text{rms}} = \frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}} \quad \mathbf{\Delta V_{\text{rms}} = \frac{\Delta V_{\max}}{\sqrt{2}}}

2. 저항기, 인덕터, 축전기의 거동

교류 회로에서 각 수동 소자(저항기, 인덕터, 축전기)는 전류에 대해 고유한 위상 관계와 리액턴스를 가진다.

3. 직렬 RLC 회로와 공명

3.1. 임피던스 (\mathbf{Z})

직렬 RLC 회로에서 전류의 흐름을 방해하는 알짜 유효 저항을 임피던스(Z)라고 한다. 임피던스는 리액턴스와 저항을 벡터적으로 합친 것이다.

\mathbf{Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}}

• 임피던스에 걸린 전압: \mathbf{\Delta V_{\max} = I_{\max} Z} \text{ 또는 } \mathbf{\Delta V_{\text{rms}} = I_{\text{rms}} Z} 이다.

3.2. 공명 (Resonance)

• 정의: 유도 리액턴스(X_L)와 전기용량 리액턴스(X_C)가 같아져 임피던스가 최소(Z=R)가 되고, 회로에 흐르는 전류가 최대가 되는 현상이다.

• 공명 각진동수 (\mathbf{\omega_0}):

4. 교류 회로에서의 전력과 변압기

4.1. 평균 전력 (\mathbf{P_{\text{avg}}})

교류 회로에서 평균 전력은 저항기(R)에서만 소비된다. 리액턴스 소자는 에너지를 저장했다가 다시 회로로 돌려주므로 순 소모 전력이 없다.

\mathbf{P_{\text{avg}} = I_{\text{rms}} \Delta V_{\text{rms}} \cos\phi = I_{\text{rms}}^2 R}

• 역률 (Power Factor, \mathbf{\cos\phi}): 전류와 전압 사이의 위상차 \phi의 코사인 값이다. \mathbf{\cos\phi = R/Z} 이다.

4.2. 변압기 (Transformer)

• 정의: 상호 유도를 이용하여 교류 전압과 전류를 변화시키는 장치이다.

• 전압/감은 횟수 관계: 변압기의 전압은 1차 코일(N_1)과 2차 코일(N_2)의 감은 횟수 비에 비례한다.

• 전력 보존 (이상적인 경우):P_1 = P_2 이므로, \mathbf{\Delta V_1 I_1 = \Delta V_2 I_2} 이다. (전압을 높이면 전류는 감소한다.)

• 고전압 송전 이유 (STORYLINE 관련): 전력 손실은 전류의 제곱(I^2 R)에 비례한다. 발전소에서 전압(\Delta V)을 극도로 높여 전류(I)를 낮춤으로써 송전선에서의 에너지 손실을 최소화한다.