유도 계수

1. 자체 유도와 유도 계수 (Inductance)

1.1. 자체 유도와 역기전력

• 자체 유도 (Self-Induction): 회로에 흐르는 전류(i)가 시간에 따라 변할 때, 그 전류에 의해 생성된 자기장(\vec{B})이 회로 자체를 통과하는 자기 선속(\Phi_B)을 변화시켜, 이 변화를 방해하는 유도 기전력(\mathcal{E}_L)을 회로 내에 유도하는 현상이다.

• 자체 유도 기전력 (\mathbf{\mathcal{E}_L}):

- 이 유도 기전력은 전지의 기전력 방향과 반대되는 방향으로 작용하여 전류의 급격한 변화를 막으므로 역기전력이라고도 한다.

1.2. 유도 계수 (Inductance, \mathbf{L})

• 정의: 회로의 전류 변화에 대한 방해 정도를 나타내는 척도이다.

※ N: 코일의 감은 횟수. \Phi_B: 한 번 감은 도선 고리를 통과하는 자기 선속.

• 단위: 헨리(Henry, H)이며, \mathbf{1 \text{ H} \equiv 1 \text{ V}\cdot \text{s}/\text{A}} 이다.

• 솔레노이드의 유도 계수: 길이가 l이고 단면적 A인 솔레노이드(인덕터)의 유도 계수는 그 기하학적 구조에 따라 결정된다.

※ n: 단위 길이당 감은 횟수. V: 솔레노이드 내부 부피.

2. RL 회로 및 에너지 저장

2.1. RL 회로 (저항-인덕터 회로)

저항기(R)와 인덕터(L)가 직렬 연결된 회로에서 전류는 즉시 평형 상태에 도달하지 않고 지수적으로 변화한다.

• 전류 증가 (충전): 스위치를 닫는 순간, 전류는 영(0)에서 시작하여 나중 평형값(\mathcal{E}/R)으로 지수적으로 증가한다.

• 전류 감소 (방전): 전지가 제거된 닫힌 회로에서, 전류는 초기값(I_i)에서 영(0)으로 지수적으로 감소한다.

• 시간 상수 (\mathbf{\tau}): RL 회로의 반응 속도를 결정한다.

2.2. 자기장 내의 에너지

인덕터는 전류가 흐를 때 자기장 형태로 에너지를 저장한다.

• 인덕터에 저장된 에너지 (\mathbf{U_B}):

• 자기 에너지 밀도 (\mathbf{u_B}): 단위 부피당 저장된 에너지이며, 전기장 에너지 밀도와 유사한 형태를 가진다.

3. 회로의 진동 (LC 및 RLC 회로)

3.1. LC 회로 (인덕터-축전기 회로)

저항(R=0)이 없는 LC 회로는 전하와 에너지가 축전기의 전기장과 인덕터의 자기장 사이를 주기적으로 왕복하며 진동한다.

• 각진동수 (\mathbf{\omega}): LC 회로의 고유 진동수는 회로의 전기용량과 유도 계수에 의해 결정된다.

• 에너지 변환: 전기 에너지(\frac{q^2}{2C})가 자기 에너지(\frac{1}{2}Li^2)로, 다시 전기 에너지로 무한히 변환된다 (이상적인 경우).

3.2. RLC 회로

저항(R)이 있는 RLC 직렬 회로는 감쇠 진동(Damped Oscillations)을 한다.

• 유사성: RLC 회로의 운동은 15장에서 다룬 감쇠 조화 진동자(질량-용수철-점성 감쇠)의 운동과 수학적으로 유사한다.

• 에너지: 진동하는 동안 저항기(R)에서 내부 에너지가 지속적으로 소모되므로 진폭이 시간에 따라 감소하며, 진동은 결국 멈춘다.