전기용량, 유전체

1. 축전기와 전기용량 (Capacitance)

1.1. 전기용량의 정의

축전기(Capacitor)는 전기적 전하와 에너지를 저장하는 장치이다. 전기용량(C)은 축전기의 전하 저장 능력을 나타내는 척도이며, 축전기에 저장된 전하량(Q)과 축전기 양단에 걸린 전위차(\Delta V)의 비율로 정의된다.

\mathbf{C \equiv \frac{Q}{\Delta V}}

• 단위: 전기용량의 SI 단위는 패럿(Farad, F)이며, \mathbf{1 \text{ F} = 1 \text{ C/V}} 이다.

• 전위차 (\Delta V): 축전기의 전기용량 C는 Q나 \Delta V에 의존하지 않으며, 축전기의 기하학적 구조(크기와 모양)와 유전체의 종류에 의해서만 결정된다.

1.2. 전기용량의 계산 (평행판 축전기)

전하가 고르게 분포된 면적 A의 두 평행판이 거리 d만큼 떨어져 있는 평행판 축전기의 전기용량은 다음과 같다.

\mathbf{C = \epsilon_0 \frac{A}{d}} \text{}

※ \epsilon_0: 진공 유전율(8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2))이다.

※ C는 판의 면적에 비례하고 간격에 반비례한다.

2. 축전기의 연결과 에너지 저장

2.1. 축전기의 조합

여러 축전기를 하나의 유효 축전기(등가 전기용량, C_{\text{eq}})로 대체하여 분석할 수 있다.

2.2. 축전기에 저장된 에너지

축전기에 저장되는 전위 에너지(U)는 축전기를 충전하는 데 필요한 일의 형태로 주어진다.

\mathbf{U = \frac{1}{2} Q \Delta V = \frac{1}{2} C (\Delta V)^2 = \frac{Q^2}{2C}}

2.3. 에너지 밀도 (\mathbf{u_E})

에너지가 저장된 공간의 단위 부피당 에너지(에너지 밀도)는 축전기 내부의 전기장(E)과 관련된다.

\mathbf{u_E = \frac{U}{\text{Volume}} = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2}

• 이 식은 에너지가 전기장 자체에 저장되어 있음을 나타낸다.

3. 유전체 (Dielectrics)

3.1. 유전체의 효과

유전체(Dielectric)는 축전기 판 사이에 삽입되는 비전도성(절연체) 물질이다.

• 유전체를 삽입하면 전기용량 C가 증가한다 (\mathbf{C > C_0}).

• 유전 상수 (\kappa): 유전체가 있을 때의 전기용량 C와 진공일 때의 전기용량 C_0의 비율이다.

• 유전체를 삽입한 평행판 축전기의 전기용량: \mathbf{C = \kappa \epsilon_0 \frac{A}{d}}.

3.2. 유전체가 전기장에 미치는 영향

유전체 내부에서 전기장(E)은 \kappa배 감소한다.

\mathbf{E = \frac{E_0}{\kappa}}

• 원자적 해석: 유전체 내부에서 외부 전기장에 반대되는 방향으로 유도된 전기 쌍극자 모멘트가 생성되거나 영구 쌍극자 모멘트가 정렬되어, 전체 전기장이 감소하게 된다.

• 유전체를 사용함으로써 축전기의 작동 전압을 낮추고, 기계적 지지를 제공하며, 파괴 항복을 방지할 수 있다.