일반물리학 / 이차원에서의 운동

일반물리학

이차원에서의 운동

1. 위치, 속도, 가속도 벡터 (4.1)

이차원 운동(xy 평면)을 기술할 때, 모든 운동학적 양은 벡터로 표현된다.

물리량	정의	수식	기하학적 의미
위치 벡터	원점(O)에서 입자(P)까지 연결한 벡터.	\mathbf{\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}}	입자의 위치
변위 벡터	나중 위치 벡터(\vec{r}_f)와 처음 위치 벡터(\vec{r}_i)의 차이.	\mathbf{\Delta\vec{r} \equiv \vec{r}_f - \vec{r}_i}	이동 경로와 무관한 위치 변화
순간 속도	위치 벡터의 시간 변화율 (변위의 극한).	\mathbf{\vec{v} \equiv \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}}	경로의 접선 방향과 일치. 크기는 속력 (v=\vert\vec{v}\vert)
순간 가속도	속도 벡터의 시간 변화율.	\mathbf{\vec{a} \equiv \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}}	속도 변화가 일어나는 방향

※ 이차원 운동에서 가속도가 있으면 속도의 크기(속력) 또는 방향, 또는 둘 다 변할 수 있다.

2. 이차원 등가속도 운동

가속도(\vec{a})의 크기와 방향이 일정한 운동이다. 이는 서로 수직인 x축과 y축 방향의 독립된 두 개의 등가속도 운동으로 분리하여 기술할 수 있다. 즉, x 방향의 운동은 y 방향의 운동에 영향을 주지 않는다.

등가속도 운동 공식 (벡터 형태, a 일정)

나중 속도: \mathbf{\vec{v}_f = \vec{v}_i + \vec{a}t}

나중 위치: \mathbf{\vec{r}_f = \vec{r}_i + \vec{v}_i t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2}

※ 성분별 공식은 1차원 등가속도 공식을 각 성분에 적용하여 사용한다.

3. 포물체 운동

공기 저항을 무시하고, 가속도가 중력 가속도(\vec{g})로 일정한 이차원 등가속도 운동의 특수한 경우이다. 경로의 궤적은 항상 포물선이다.

포물체 운동의 가정과 분석 모형

1. 가정: 자유 낙하 가속도는 일정하고 아래를 향한다 (공기 저항 무시).

2. 가속도 성분:

- 수평 방향 (x):a_x = 0 (가속도 없음 \rightarrow등속 운동하는 입자 모형)

- 연직 방향 (y):a_y = -g (중력 가속도 \rightarrow등가속도 운동하는 입자 모형)

3. 최고점: 연직 속도 성분은 순간적으로 v_y = 0 이지만, 가속도(\vec{g})는 여전히 아래 방향으로 존재한다.

특수 공식 (같은 수평 높이로 되돌아오는 대칭 경로)

최대 높이(h): \mathbf{h = \frac{v_i^2 \sin^2\theta_i}{2g}}
수평 도달 거리(R): \mathbf{R = \frac{v_i^2 \sin 2\theta_i}{g}}

- R은 \mathbf{\theta_i = 45^\circ}일 때 최대가 된다.

- 여각(\theta_i와 90^\circ - \theta_i)으로 쏘아 올리면 R 값은 동일한다.

4. 곡선 경로에서의 가속도

등속 원운동 (Uniform Circular Motion)

물체가 일정한 속력(v)으로 반지름 r인 원 궤도를 따라 운동하는 경우이다.

가속도: 속력은 일정하지만, 속도 벡터의 방향이 지속적으로 변하므로 가속도가 존재한다.
구심 가속도(a_c): 이 가속도는 항상 원의 중심을 향하고 경로에 수직이다.

- 크기:\mathbf{a_c = \frac{v^2}{r}}

- 주기(T): 한 번 회전하는 데 걸리는 시간. \mathbf{T = \frac{2\pi r}{v}}

- 각속력(\omega):\mathbf{v = r\omega}, \mathbf{a_c = r\omega^2}.

일반적인 곡선 운동 (접선 및 지름 가속도)

속력과 방향이 모두 변하는 일반적인 곡선 경로에서, 전체 가속도(\vec{a})는 두 성분으로 분리된다.

접선 가속도(a_t):속력의 변화로 발생하며, 순간 속도에 평행한다.

- \mathbf{a_t = \left|\frac{dv}{dt}\right|} (속력 증가/감소)

지름 가속도(a_r):속도 방향의 변화로 발생하며, 곡률 중심을 향하는 방향(구심 가속도)이다.

- \mathbf{a_r = -a_c = -\frac{v^2}{r}} (음의 부호는 바깥쪽으로 향하는 지름 단위 벡터와 반대임을 나타냄)

전체 가속도 크기:\mathbf{|\vec{a}| = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}}

5. 상대 속도와 상대 가속도

물체의 위치와 속도는 관측자(기준틀)에 따라 다르게 측정된다.

상대 속도 관계식: 한 기준틀(S_A)에 대한 입자(P)의 속도(\vec{u}_{PA})는 다른 등속으로 움직이는 기준틀(S_B)에 대한 입자의 속도(\vec{u}_{PB})와 두 기준틀 사이의 상대 속도(\vec{v}_{BA})의 벡터 합과 같다.

\mathbf{\vec{u}_{PA} = \vec{u}_{PB} + \vec{v}_{BA}}

상대 가속도: 두 기준틀 사이의 상대 속도(\vec{v}_{BA})가 일정하다면, 두 기준틀에서 측정한 입자의 가속도는 동일하다 (\mathbf{\vec{a}_{PA} = \vec{a}_{PB}}).

벡터

운동의 법칙

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