벡터

1. 스칼라와 벡터

물리학에서 물리량은 크게 스칼라와 벡터로 구분되며, 각 물리량의 본질에 따라 적절히 다루어야 한다.

2. 벡터의 성질과 연산

벡터의 등가성

• 벡터의 동일성: 두 벡터(\vec{A}와 \vec{B})의 크기와 방향이 모두 같으면, 그들이 공간의 어디에 위치하든 \mathbf{\vec{A} = \vec{B}}로 같다.

벡터의 합과 뺄셈

• 벡터의 합 (Vector Addition): 삼각형법(Head-to-Tail Method): 한 벡터의 머리(화살표)에 다른 벡터의 꼬리를 연결하고, 첫 벡터의 꼬리에서 마지막 벡터의 머리까지 이은 벡터가 합 벡터(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B})이다.

※ 평행사변형법: 두 벡터의 꼬리를 일치시키고 평행사변형을 만든 후, 꼬리에서 대각선 방향으로 나가는 벡터가 합 벡터이다.

• 벡터의 교환 및 결합 법칙: 벡터의 합은 스칼라 합처럼 교환 법칙(\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A})과 결합 법칙((\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}))이 성립한다.

• 벡터의 뺄셈: 벡터 \vec{B}를 빼는 것은 -\vec{B}를 더하는 것과 같다(\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})). -\vec{B}는 \vec{B}와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터이다.

스칼라를 벡터에 곱하기

• 벡터 \vec{A}에 스칼라 c를 곱하면, 그 결과는 새로운 벡터 \vec{B} = c\vec{A}가 된다.

• 크기: \vec{B}의 크기는 \mathbf{|c||\vec{A}|}이다.

• 방향: c가 양수(c>0)이면 \vec{A}와 방향이 같고, c가 음수(c<0)이면, \vec{A}와 방향이 반대이다.

3. 벡터의 성분

좌표계를 사용하여 벡터를 다루는 가장 강력한 방법이다.

• 벡터 성분: 벡터 \vec{A}는 직교 좌표계의 축을 따라 두 개 또는 세 개의 성분(A_x, A_y)으로 분해된다.

- A_x = A \cos\theta

- A_y = A \sin\theta

- 여기서 A는 벡터의 크기, \theta는 \vec{A}가 +x축과 이루는 각도이다.

• 크기와 방향: 성분들을 이용하여 벡터의 크기와 방향을 쉽게 계산할 수 있다.

- 크기: \mathbf{A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}}

- 방향(\theta):\mathbf{\tan\theta = \frac{A_y}{A_x}} (\theta는 \arctan(A_y/A_x)를 사용하여 구하며, 성분의 부호를 통해 \theta가 어느 사분면에 있는지 판단해야 한다.)

단위 벡터 (Unit Vector)

• 정의: 크기가 1이며 특정 방향을 가리키는 무차원 벡터이다.

• 직교 단위 벡터:

- \mathbf{\hat{i}}: +x 방향

- \mathbf{\hat{j}}: +y 방향

- \mathbf{\hat{k}}: $+z$ 방향

• 성분 표현: 모든 벡터 \vec{A}는 단위 벡터를 사용하여 그 성분의 합으로 표현될 수 있다.

- \mathbf{\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}} (2차원)

성분을 이용한 벡터 합

두 벡터 \vec{A}와 \vec{B}의 합 \vec{R} = \vec{A} + \vec{B}는 각 성분을 더하여 쉽게 구할 수 있다.

• \mathbf{\vec{R} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j}}

• \mathbf{R_x = A_x + B_x}

• \mathbf{R_y = A_y + B_y}

4. 벡터의 곱

두 벡터를 곱하는 방법에는 스칼라 결과와 벡터 결과를 낳는 두 가지가 있다.

스칼라 곱 (Scalar Product or Dot Product): 두 벡터 \vec{A}와 \vec{B}를 곱하여 스칼라 값을 얻는 연산이다.

• 정의:\mathbf{\vec{A} \cdot \vec{B} \equiv AB \cos\theta}

- A, B는 벡터의 크기, \theta는 두 벡터 사이의 작은 각도이다.

• 성분 표현:\mathbf{\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z}

• 특징:

- \vec{A}와 \vec{B}가 \\수직(\theta=90^\circ)이면, \mathbf{\vec{A} \cdot \vec{B} = 0}이다.

- \vec{A}와 \vec{B}가 \\평행(\theta=0^\circ)이면, \mathbf{\vec{A} \cdot \vec{B} = AB}이다.

- 단위 벡터의 스칼라 곱: \mathbf{\hat{i} \cdot \hat{i} = 1}, \mathbf{\hat{i} \cdot \hat{j} = 0} 등.

벡터 곱 (Vector Product or Cross Product)

두 벡터 \vec{A}와 \vec{B}를 곱하여 새로운 벡터 \vec{C}를 얻는 연산이다.

• 크기:\mathbf{|\vec{C}| = |\vec{A} \times \vec{B}| = AB \sin\theta}

- |\vec{C}|는 \vec{A}와 \vec{B}를 변으로 하는 평행사변형의 넓이와 같다.

• 방향: 오른손 법칙(Right-Hand Rule)으로 결정된다.

※ \vec{A}에서 \vec{B}로 회전할 때, 오른손 네 손가락을 감아쥐고 엄지손가락이 가리키는 방향이 \vec{C}의 방향이다.

• 특징:

- 벡터 곱은 교환 법칙이 성립하지 않는다: \mathbf{\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})}

- \vec{A}와 \vec{B}가 \\평행(\theta=0^\circ)이면, \mathbf{\vec{A} \times \vec{B} = 0}이다.

• 성분 표현: 행렬식(Determinant)을 이용하거나 다음과 같이 계산할 수 있다.

- \mathbf{\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y)\hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z)\hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x)\hat{k}}