정현파 정상 상태 해석

1. 서론: 교류 해석의 기초

지금까지는 시간에 따라 변하지 않는 직류 전원을 다루었으나, 실제 전력 시스템이나 통신 신호의 대부분은 정현파(Sinusoid) 형태의 교류 신호이다. 이 장에서는 정현파 강제 함수가 인가되었을 때, 과도 응답이 사라진 후의 정상 상태(Steady-State) 응답을 해석하는 방법을 다룬다.

2. 정현파의 특성 (Sinusoids)

정현파 전압이나 전류는 다음과 같은 코사인 함수 형태로 표준화하여 표현한다.

x(t) = X_M \cos(\omega t + \theta)

⦁X_M (진폭): 파형의 최대값이다.

⦁\omega (각주파수): 초당 라디안 변화율이며, 주파수 f와 주기 T와는 \omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}의 관계를 갖는다.

⦁\theta (위상각): t=0 시점에서의 파형의 위치를 결정한다.

⦁위상 관계: 두 파형의 주파수가 같을 때, 위상각의 차이를 통해 위상 앞섬(Lead)과 뒤짐(Lag)을 판별한다.

3. 페이저와 복소수 (Phasors and Complex Numbers)

시간 영역(Time Domain)에서 정현파를 포함한 회로를 해석하려면 복잡한 미분방정식을 풀어야 한다. 이를 피하기 위해 오일러 공식(e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta)을 활용하여 정현파를 복소수 영역으로 변환하는데, 이를 페이저(Phasor)라 한다.

⦁변환 원리: 시간 함수 v(t) = V_M \cos(\omega t + \theta)는 주파수 영역에서 다음과 같은 페이저로 변환된다.

\mathbf{V} = V_M \angle \theta

⦁의미: 페이저는 크기(V_M)와 위상(\theta) 정보만을 가지며, 주파수(\omega)는 암묵적으로 내포되어 있다. 미분 연산은 j\omega를 곱하는 것으로, 적분 연산은 j\omega로 나누는 것으로 단순화된다.

4. 회로 소자의 페이저 관계 (Phasor Relationships)

각 수동 소자(R, L, C)의 전압-전류 관계를 페이저 영역에서 정의하면 다음과 같다.

⦁저항 (Resistor): 전압과 전류의 위상이 동상(In-phase)이다.

\mathbf{V} = R \mathbf{I}

⦁인덕터 (Inductor): 전압이 전류보다 위상이 90^\circ 앞선다(Lead).

\mathbf{V} = j\omega L \mathbf{I}

⦁커패시터 (Capacitor): 전류가 전압보다 위상이 90^\circ 앞선다(Lead). (즉, 전압이 전류보다 90^\circ 뒤진다.)

\mathbf{V} = \dfrac{1}{j\omega C} \mathbf{I} = -j \dfrac{1}{\omega C} \mathbf{I}

5. 임피던스와 어드미턴스 (Impedance and Admittance)

5.1 임피던스 (Z)

주파수 영역에서 전압 페이저와 전류 페이저의 비율로 정의되며, 직류 회로의 저항 개념을 확장한 것이다.

\mathbf{Z} = \dfrac{\mathbf{V}}{\mathbf{I}} = R + jX

⦁R: 저항 (Real part)

⦁X: 리액턴스 (Imaginary part)

- 인덕터의 임피던스: Z_L = j\omega L

- 커패시터의 임피던스: Z_C = \dfrac{1}{j\omega C}

5.2 어드미턴스 (Y)

임피던스의 역수이다.

\mathbf{Y} = \dfrac{1}{\mathbf{Z}} = G + jB

⦁G: 컨덕턴스

⦁B: 서셉턴스

5.3 직병렬 연결

임피던스의 직렬/병렬 합성은 직류 회로의 저항 합성 법칙과 동일한 형태를 띤다.

⦁직렬: Z_{eq} = Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_N

⦁병렬: \dfrac{1}{Z_{eq}} = \dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2} + \cdots + \dfrac{1}{Z_N}

6. 주파수 영역에서의 회로 해석 (Circuit Analysis in Frequency Domain)

회로를 주파수 영역으로 변환하면(모든 소자를 임피던스로 표현), 직류 회로에서 사용했던 모든 해석 기법을 그대로 적용할 수 있다. 단, 연산은 복소수 연산을 수행해야 한다.

⦁적용 가능한 기법

- 키르히호프의 법칙 (KCL, KVL)

- 노드 해석법 (Nodal Analysis)

- 망로(루프) 해석법 (Mesh Analysis)

- 중첩의 원리 (Superposition)

- 전원 변환 (Source Transformation)

- 테브난 및 노톤 정리 (Thevenin & Norton Theorems)