양자 역학

1. 파동 함수와 슈뢰딩거 방정식

1.1. 파동 함수 (Wave Function, \mathbf{\psi})

• 정의: 양자 역학에서 입자(전자, 광자 등)의 상태를 기술하는 함수이다. \psi 자체는 물리적 의미가 없으나, 이 함수의 제곱(|\psi|^2)은 물리적 의미를 가진다.

• 확률 밀도: |\psi|^2은 입자를 특정 위치에서 발견할 확률 밀도를 나타낸다.

- 특정 영역에서 입자를 발견할 확률은 \int |\psi|^2 dV 이다.

• 규격화 조건 (Normalization): 모든 가능한 위치에서 입자를 발견할 확률의 총합은 1이 되어야 한다.

1.2. 슈뢰딩거 방정식 (Schrödinger Equation)

양자 역학에서 입자의 파동 함수(\psi)가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 기술하는 기본 방정식이다. 이는 뉴턴 역학에서의 \vec{F}=m\vec{a} 또는 에너지 보존 법칙과 같은 역할을 한다.

• 시간 독립 슈뢰딩거 방정식 (Time-Independent): 퍼텐셜 에너지 U가 시간에 의존하지 않는 경우에 사용된다. 이 방정식을 풀면 입자가 가질 수 있는 허용된 에너지 준위(E)와 그에 해당하는 파동 함수를 얻는다.

※ \mathbf{\hbar}: 디랙 상수(플랑크 상수 $h$를 $2\pi$로 나눈 값).

2. 경계 조건과 양자화

경계 조건(Boundary Conditions)은 파동 함수가 허용되기 위한 제약 조건이다. 입자가 특정 영역에 갇혀 있을 때, 그 에너지는 불연속적인 값만 가질 수 있다 (에너지의 양자화).

무한 포텐셜 우물 (Particle in a Box)

• 모형: 입자가 길이가 L인 1차원 상자(양쪽 끝에서 퍼텐셜 에너지가 무한대인 영역) 안에 갇혀 있는 단순한 모형이다.

• 파동 함수 조건: 상자 바깥(x \le 0 및 x \ge L)에서는 입자를 발견할 확률이 0이므로 \mathbf{\psi = 0} 이고, 경계면에서도 \psi는 연속적이어야 한다.

• 에너지 양자화: 입자가 가질 수 있는 허용된 에너지 준위(E_n)는 불연속적이다.

※ \mathbf{n}은 양자수(Quantum Number)이며, n=0은 허용되지 않는다.

• 영점 에너지 (Zero-Point Energy): 입자는 가장 낮은 에너지 준위(n=1)에서도 E_1 = h^2/(8m L^2) 만큼의 에너지를 가지며, 절대 영점에서도 정지할 수 없다.

3. 유한 포텐셜 우물과 터널링

3.1. 유한 포텐셜 우물 (Finite Potential Well)

• 특징: 상자 바깥 영역(x \le 0 및 x \ge L)에서 퍼텐셜 에너지 U가 유한한 값을 가진다.

• 양자적 누설 (Quantum Leakage): 파동 함수(\psi)는 상자 바깥 영역(U가 E보다 큰 영역)에서도 0이 아니며 지수 함수적으로 감소한다. 이는 입자가 고전적으로 금지된 영역에서 발견될 확률이 있음을 의미한다.

3.2. 터널링 (Tunneling)

• 현상: 입자가 고전적으로 통과할 수 없는 유한한 폭의 에너지 장벽(U > E인 영역)을 투과하여 지나가는 현상이다.

- 입자가 장벽의 한쪽에서 다른 쪽으로 터널링할 확률은 장벽의 두께(L)와 높이(U-E)에 따라 지수 함수적으로 감소한다.

• 응용: 주사 터널링 현미경(STM, Scanning Tunneling Microscope)은 이 터널링 전류를 이용하여 원자 수준의 이미지를 얻는다.

3.3. 양자 조화 진동자 (Quantum Harmonic Oscillator)

• 모형: U(x) = \frac{1}{2} k x^2의 포텐셜 에너지를 가지는 모형(예: 분자의 진동)이다.

• 에너지 준위: 양자 조화 진동자의 허용된 에너지 준위는 등간격이다.

- \mathbf{n=0}일 때 \mathbf{E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega} 의 영점 에너지를 가진다.