원운동, 뉴턴의 법칙 적용

1. 등속 원운동하는 입자 모형의 확장

등속 원운동(v와 r 일정)은 구심 가속도(a_c = v^2/r)가 항상 원의 중심을 향하는 가속도 운동이다. 뉴턴의 제2법칙을 적용하면, 이 가속도를 유발하는 알짜힘(\Sigma \vec{F}), 즉 구심력은 항상 원의 중심을 향해야 한다.

\mathbf{\Sigma F = ma_c = m\frac{v^2}{r}}

• 구심력의 역할: 구심력은 물체의 속도의 방향을 변화시켜 원 궤도를 유지하게 한다.

• 구심력의 종류: 구심력은 마찰력, 장력, 중력 성분 등 물리적인 힘의 벡터합이다.

• 운동 방향: 구심력이 사라지면 물체는 그 순간의 속도 벡터 방향(원의 접선 방향)으로 직선 운동을 지속한다 (뉴턴의 제1법칙).

2. 비등속 원운동

물체의 속력(v)이 일정하지 않은 원 궤도 운동을 다룬다. 이 경우 가속도는 지름 성분(a_r) 외에 접선 성분(a_t)을 가진다. 따라서 물체에 작용하는 알짜힘(\Sigma \vec{F})도 두 성분으로 나뉜다.

• 지름 방향 알짜힘(\Sigma \vec{F}_r): 구심 가속도(a_r = v^2/R)를 만들며 원의 중심을 향한다.

• 접선 방향 알짜힘(\Sigma \vec{F}_t): 속력의 변화를 유발하는 접선 가속도(a_t)를 만든다.

3. 가속 기준틀에서의 운동

뉴턴의 법칙은 관성 기준틀에서만 관측된 결과를 설명한다. 가속되고 있는 비관성 기준틀에 있는 관측자에게는 뉴턴의 법칙이 위배되는 것처럼 보인다.

• 겉보기 힘 (Fictitious Force): 비관성 기준틀의 관측자가 운동을 설명하기 위해 도입하는 가상의 힘이다.

- 이는 실제 힘(상호작용)이 아니며, 관성 기준틀의 가속 방향과 반대 방향으로 작용하는 것처럼 보이다.

• 원심력 (Centrifugal Force): 원운동하는 비관성틀에서 관측되는 겉보기 힘의 한 예이다.

- 원심력은 실제 힘이 아니다. 승객이 바깥으로 밀리는 것처럼 느끼는 것은, 승객이 뉴턴의 제1법칙에 따라 원래의 직선 운동을 지속하려는 경향(관성) 때문이다.

• 코리올리 힘 (Coriolis Force): 회전하는 좌표계에서 물체의 지름 방향 위치가 변할 때 나타나는 또 다른 겉보기 힘이다.

4. 저항력을 받는 운동

물체가 액체나 기체와 같은 매질 속에서 운동할 때, 매질은 물체에 저항력(\vec{R})을 작용한다. \vec{R}의 방향은 언제나 물체의 매질에 대한 상대적인 운동 방향에 반대이다.

모형 1: 속도에 비례하는 저항력

아주 작은 입자나 액체 속에서 천천히 낙하하는 물체에 유효한다.

\mathbf{\vec{R} = -b\vec{v}}

• 종단 속력(v_T): 저항력의 크기가 물체의 무게(mg)와 같아져 알짜힘이 영(\Sigma F = 0)이 될 때, 물체는 더 이상 가속되지 않고 일정한 종단 속력에 도달한다.

• 시간 상수(\tau): \mathbf{\tau = m/b}이며, 이는 공이 종단 속력의 63.2\%에 도달할 때까지의 시간이다.

모형 2: 속력의 제곱에 비례하는 저항력

공기 중에서 빠른 속력으로 운동하는 커다란 물체(예: 야구공, 스카이다이버)에 유효한다.

\mathbf{R = \frac{1}{2} D \rho A v^2}

※ D: 끌림 계수 (Drag coefficient)

※ \rho: 매질의 밀도 (공기의 밀도)

※ A: 속도에 수직인 단면적

• 종단 속력(v_T): 이 경우 종단 속력은 다음과 같다.