곡면 위의 한점 (x,\, y,\, z)에 대해, 원점으로부터의 거리의 제곱을 f(x,\, y,\, z)라고 하면 다음과 같은 식이 성립한다.
\displaystyle f(x,\, y,\, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
\displaystyle z-1=4x^{2}+4y^{2}을 만족하는 (x,\, y,\, z)에 대해 \displaystyle f(x,\, y,\, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} 최소값을 구하기
1. 라그랑주 승수법 이용: \displaystyle g(x,\, y,\, z)=4x^{2}+4y^{2}-z+1이라고 할 때, \nabla f = \lambda \nabla g를 만족하는 \lambda,\, x,\, y,\, z 구하기
2. \displaystyle \nabla f = (2x,\, 2y,\, 2z), \,\, \lambda \nabla g = \lambda(8x,\, 8y,\, -1)이므로 \displaystyle \lambda = \dfrac{1}{4} or x = 0
\displaystyle \lambda = \dfrac{1}{4} 라고 하면, \displaystyle z = -\dfrac{1}{8}이므로 -\dfrac{9}{8} = 4x^2 + 4y^2이 되어 모순이다. 즉, \lambda \ne \dfrac{1}{4}이므로 x = 0,\, y = 0
3. x=0,\, y=0 이므로 \displaystyle z - 1 = 4x^{2}+4y^{2} = 0이 되어 \displaystyle z = 1이고 \lambda = -2