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[미분적분학]
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어떤 지형의 높이함수 h(x,y)=100-2x^2-y^2으로 주어질 때, 점 (1,2)에서 벡터 u=\lang1,1\rang 방향으로의 정사도(방향 도함수)는?
1
-6
오답
2
-\dfrac{6}{\sqrt{2}}
3
\dfrac{6}{\sqrt{2}}
4
-\dfrac{8}{\sqrt{2}}
5
-4\sqrt{2}
정사도(방향 도함수)는 D_{\mathbf{u}}h = \nabla h \cdot \mathbf{u}로 계산됩니다.
기울기 벡터 (\nabla h) 계산:
\nabla h = \left\langle \dfrac{\partial h}{\partial x},\ \dfrac{\partial h}{\partial y} \right\rangle = \langle -4x,\ -2y \rangle
점 $P(1,2)에서의 기울기 벡터:
\nabla h(1,2) = \langle -4(1),\ -2(2) \rangle = \langle -4,\ -4 \rangle
단위 벡터 (\mathbf{u}) 계산: 주어진 방향 벡터 v=(1,1)의 크기는 |\mathbf{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} 입니다.
\mathbf{u} = \dfrac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left\langle \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle
방향 도함수 계산:
D_{\mathbf{u}}h = \nabla h \cdot \mathbf{u} = \langle -4,\ -4\rangle \cdot \left\langle \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle
D_{\mathbf{u}}h = \dfrac{-4}{\sqrt{2}} + \dfrac{-4}{\sqrt{2}}= \dfrac{-8}{\sqrt{2}}= -4\sqrt{2}
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