마이노트
[미분적분학]
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xy 평면에서 꼭짓점 (0,0), (6,0), (0,3)으로 이루어진 폐삼각형 영역 D에서 함수 f(x,y)=4x^2 - x^2y - y^2의 최솟값은?
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-9
오답
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-4
3
4
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16
폐영역 D의 경계는 x=0,\; y=0,\; y = 3 - \dfrac{x}{2} 입니다. (직선 2y + x = 6)
내부 임계점 검사:
f_x = 8x - 2xy = 2x(4 - y)=0,
f_y = -x^2 - 2y = 0.
x=0 \Rightarrow -2y=0 \Rightarrow y=0 \Rightarrow (0,0) (경계점).
y=4 \Rightarrow -x^2 - 8 =0 \Rightarrow x^2=-8 (실수해 없음).
따라서 내부 임계점은 없다.
2.경계에서의 최소값 검토:
(1) x=0 , $0 \le y \le 3
f(0,y) = -y^2 이므로 최솟값은 f(0,3) = -9.
(2) y=0 , $0 \le x \le 6
f(x,0)=4x^2 이므로 최솟값은 f(0,0)=0.
(3) y = 3 - \dfrac{x}{2} 위:
f(x, 3 - \dfrac{x}{2}) = 4x^2 - x^2(3 - \dfrac{x}{2}) - (3 - \dfrac{x}{2})^2.
대입 후 식을 단순화하면
\dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + 3x - 9 이 되고, 이를 미분해보면 증가함수임을 확인할 수 있다.
따라서 $x=0에서 최솟값을 갖고, 이때 점은 (0,3)이며 f(0,3)=-9이다.
꼭짓점 값 비교:
f(0,0)=0, f(6,0)=144, f(0,3)=-9.
결론:
경계의 임계점과 꼭짓점에서 최솟값은 -9이다.
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