연쇄 법칙:

\displaystyle \frac{dz}{dt}= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}

1. 편도함수:

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = 6y

2. t에 대한 도함수:

\displaystyle \frac{dx}{dt} = -\sin t, \qquad \frac{dy}{dt} = \cos t

3. 대입:

\displaystyle \frac{dz}{dt} = (2x)(-\sin t) + (6y)(\cos t)

4. x, y를 t로 대체:

\displaystyle \frac{dz}{dt} = 2(\cos t)(-\sin t) + 6(\sin t)(\cos t)= -2\sin t \cos t + 6\sin t \cos t

위 표현을 정리하면,

\displaystyle -2\sin t \cos t + 6\sin t \cos t= 4\sin t \cos t