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[미분적분학]
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밀도가 균일한 영역 D: 0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le 4 - 2x (직각삼각형)의 질량 중심 \bar{x} 좌표는?
1
\dfrac{1}{3}
오답
2
\dfrac{1}{2}
3
\dfrac{2}{3}
4
5
\dfrac{4}{3}
균일한 밀도 \rho = 1로 가정합니다.
넓이 A (질량 M):
삼각형 면적: A = \dfrac{1}{2} \cdot 밑변 \cdot 높이 = \dfrac{1}{2}(2)(4) = 4.
M_y (x축 모멘트):
M_y = \displaystyle\int_0^2 \int_0^{4-2x} x\, dy\, dx= \int_0^2 x(4 - 2x)\, dx= \int_0^2 (4x - 2x^2)\, dx
M_y = \left[ 2x^2 - \dfrac{2}{3} x^3 \right]_0^2= \left( 8 - \dfrac{16}{3} \right)= \dfrac{24 - 16}{3}= \dfrac{8}{3}
따라서
\bar{x} = \dfrac{M_y}{A}= \dfrac{\dfrac{8}{3}}{4}= \dfrac{2}{3}
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