마이노트
[미분적분학]
0
영역 R이 y = x^2과 y = x로 유계될 때, 곡면 f(x, y) = 3x 아래에 있는 입체의 부피는?
1
\dfrac{1}{4}
오답
2
\dfrac{1}{12}
3
\dfrac{1}{3}
4
\dfrac{1}{2}
5
부피 V = \displaystyle\iint_R f(x, y)\, dA입니다.
영역 R 설정: 두 곡선의 교점은 x^2 = x \;\Rightarrow\; x = 0, 1입니다. 구간 [0, 1]에서 x \ge x^2이므로, R은 y \le x로 정의됩니다.
반복 적분 설정:
V = \displaystyle\int_0^1 \int_{x^2}^{x} 3x\, dy\, dx
계산:
\displaystyle\int_0^1 3x[y]_{y=x^2}^{y=x}\, dx= \int_0^1 3x(x - x^2)\, dx
V = \displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 3x^3)\, dx
V = \left[ x^3 - \dfrac{3}{4} x^4 \right]_0^1= 1 - \dfrac{3}{4}= \dfrac{1}{4}
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