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[미분적분학]
0
곡선 C: r(t) = \lang t, t^2, 0\rang\ (0 \le t \le 1) 위에서 밀도 \rho(x, y, z) = x인 선의 질량 M은?
1
\dfrac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)
오답
2
\dfrac{1}{8}(5\sqrt{5}-1)
3
\dfrac{1}{6}(5\sqrt{5}-1)
4
\dfrac{1}{4}(5\sqrt{5}-1)
5
\dfrac{1}{3}(5\sqrt{5}-1)
질량 M = \int_C \rho(x, y, z)\, ds
ds = |r'(t)| dt
r'(t): r'(t) = (1, 2t, 0),\ |r'(t)| = \sqrt{1 + 4t^2}.
질량 적분: \rho(x, y, z) = x = t.
M = \int_0^1 t \sqrt{1 + 4t^2}\, dt
치환: u = 1 + 4t^2,\ du = 8t\, dt.
M = \int_1^5 u^{1/2} \dfrac{1}{8}\, du= \dfrac{1}{8} \left[ \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^5= \dfrac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)
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