포물면의 방정식 x^2 = y이므로 x = \sqrt{y}이다. 높이 y에서의 원형 단면적 A(y)=\pi x^2=\pi y이다.
깊이 y에 있는 물을 윗면 y = 1까지 퍼내는 거리는 1 - y이다.

물이 바닥 y=0부터 윗면 y=1까지 가득 차 있으므로 적분 구간은 [0,1]이다.

필요한 일은 W=\displaystyle\int_{0}^{1} (\rho g)\,A(y)\,(거리)\,dy=\displaystyle\int_{0}^{1} \rho g \cdot (\pi y) \cdot (1 - y)\,dy = \pi\rho g \displaystyle\int_{0}^{1} (y - y^2)\,dy = \pi\rho g \left[ \dfrac{1}{2}y^2 - \dfrac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{1}= \pi\rho g \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right) = \pi\rho g \left( \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} \right) = \dfrac{\pi\rho g}{6}\ \text{J} 이다.