이 문제는 치환 적분(Substitution Rule)을 이용하는 문제이다.

1. 치환 변수 설정: 적분 내부의 복잡한 항을 u로 치환한다.

\displaystyle u = 2\sin\theta

2. 미분 및 d\theta 관계식 도출: 양변을 \theta에 대해 미분하여 du와 d\theta의 관계를 찾는다.

\displaystyle du = 2\cos\theta d\theta

\displaystyle \cos\theta d\theta = \dfrac{1}{2}du

3. 적분 구간 변경: 원래 적분 변수 \theta의 구간에 해당하는 새로운 변수 u의 구간을 찾는다.

• \theta = 0일 때, u = 2\sin(0) = 0

• \theta = \dfrac{\pi}{2}일 때, u = 2\sin \bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg) = 2(1) = 2

4. 치환된 정적분 계산: 주어진 적분을 u에 대한 식으로 변환하고 계산한다.

\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(2\sin\theta)\cos\theta d\theta = \displaystyle \int_{0}^{2} f(u)\cdot \dfrac{1}{2} du

(상수 \dfrac{1}{2}를 밖으로 냄)

\displaystyle = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{2} f(u) du

5. 주어진 조건 대입: 문제에서 \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx = 8\bigg(\displaystyle \int_{0}^{2} f(u)du와 같음\bigg)이 주어졌으므로,

\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_{0}^{2} f(u)du = \dfrac{1}{2}\cdot 8 = 4이다.