곡면 넓이 공식 A(S) = \displaystyle \iint_{D} \sqrt{1 + (z_x)^2 + (z_y)^2}\, dA를 사용합니다.

1. 곡면 z = f(x,y) 및 편도함수:

z = 2 - 2x - 2y

z_x = -2, \quad z_y = -2

2. 적분 요소 dS 계산:

\sqrt{1 + (z_x)^2 + (z_y)^2}= \sqrt{1 + (-2)^2 + (-2)^2}= \sqrt{9} = 3

3. 투영 영역 D (xy 평면) 설정:
z = 0을 대입하여 xy 평면상의 경계를 찾습니다:

2x + 2y = 2, 즉 x + y = 1입니다.

영역 D의 넓이는:

\text{Area}(D) = \dfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}.

4. 곡면 넓이 A(S) 계산:

A(S) = 3 \cdot \text{Area}(D)= 3 \cdot \dfrac{1}{2}= \dfrac{3}{2}