발산 정리 사용 (닫힌 곡면이 아니므로 \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}는 직접 계산하기보다 발산 정리의 변형을 사용해야 합니다.)

1. 단열 곡면 E 구성:

S (포물면 윗면)와 S_1 (평면 z = 4 뚜껑)으로 단일 영역을 만듭니다.

$\displaystyle \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}= \iint_{S_1} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S_1}\;+\;\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S_{out}}= \iiint_{E} 3\, dV

2. 발산 정리 계산: div \mathbf{F} = 3.

E의 부피 V: 원통 좌표계 0 \le r \le 2,\; r^2 \le z \le 4.

\displaystyle V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{r^2}^{4} (1)\, dz\, r\, dr\, d\theta= 2\pi \int_{0}^{2} (4 - r^2) r\, dr= 2\pi \left[2r^2 - \dfrac{1}{4} r^4\right]_{0}^{2}= 2\pi(8 - 4)= 8\pi

따라서

\displaystyle \iint_{\partial E} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}= 3V = 24\pi

3. 뚜껑 S_1 유량 계산:

S_1: z = 4 평면, \mathbf{n} = (0,0,1),

dS_1 = k\, dA.

\displaystyle \iint_{S_1} \mathbf{F}\cdot dS_1= \iint_{D} \langle x, y, 4\rangle \cdot (0,0,1)\, dA= \iint_{D} 4\, dA= 4 \cdot (\text{Area})= 4\pi (2^2)= 16\pi

4. 윗면 S 유량 (아래쪽 법선):

\displaystyle \iint_{S} \mathbf{F}\cdot dS_{out}= \iint_{\partial E} \mathbf{F}\cdot dS- \iint_{S_1} \mathbf{F}\cdot dS_1

\displaystyle \iint_{S} \mathbf{F}\cdot dS_{out}= 24\pi - 16\pi= 8\pi