스토크스 정리는 다음과 같습니다:
\displaystyle \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}= \iint_S (\operatorname{curl}\mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
곡면 S는 세 꼭짓점 \mathbf{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} 을 지나는 평면
x + y + z = 1 위의 삼각형 영역입니다.
Curl (curl F) 계산:
\mathbf{F} = (P,Q,R) = (x + y^2,\; x + z^2,\; x + z^2) 에서,
\operatorname{curl}\mathbf{F}= \left(\dfrac{\partial R}{\partial y}- \dfrac{\partial Q}{\partial z},\;\dfrac{\partial P}{\partial z}- \dfrac{\partial R}{\partial x},\;\dfrac{\partial Q}{\partial x}- \dfrac{\partial P}{\partial y}\right)
i 성분: \dfrac{\partial}{\partial y}(x + z^2)- \dfrac{\partial}{\partial z}(y + z^2)= 0 - 2z = -2z \\[4pt]
j 성분: \dfrac{\partial}{\partial z}(x + z^2)- \dfrac{\partial}{\partial x}(y + z^2)= 2z - 0 = 2z \\[4pt]
k 성분: \dfrac{\partial}{\partial x}(x + z^2)- \dfrac{\partial}{\partial y}(x + y^2)= 1 - 2y = 2 - 2y
\operatorname{curl}\mathbf{F}= \langle -2z,\; 2z,\; 2 - 2y \rangle
면적분 요소 d\mathbf{S}
d\mathbf{S} = \langle -1,\,-1,\,1 \rangle dA 이다. 경계 C가 반시계 방향(위에서 내려다봄)이라고 했으므로 벡터는 위를 향하도록 합니다.
d\mathbf{S}= (-1,\,-1,\,1)dA= \langle -1,\,-1,\,1\rangle dA
내적 (curl F · dS)
\operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}= \langle -2z,\; 2z,\; 2 - 2y \rangle\cdot\langle -1,\,-1,\,1\rangle dA
= (-2z)(-1) + (2z)(-1) + (2 - 2y)(1)dA
= (2z) + (-2z) + (2 - 2y)dA
최종 적분 계산:
곡면 S는 평면 x + y + z = 1 에 있으므로,
z = 1 - x - y \Rightarrow x + y \le 1 인 S 의 2D영역을 대입할 수 있습니다.
\displaystyle \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}= \iint_S -2(1 - y)\, dA= -2 \iint_D (1 - y)\, dA
여기서 D 는 x+y 평면에 투영된 영역으로, 직선적 (1,0), (0,1), (0,0) 을 잇는 직각 삼각형입니다.
\iint_D dA = \text{Area}(D)= \dfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 1= \dfrac{1}{2}
\displaystyle \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}= -2\left(\dfrac{1}{2}\right)= -1
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