마이노트
[미분적분학]
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발산 정리를 이용하여, 벡터장 \mathbf{F}(x,y,z)=\langle xz, yz, z^2\rangle가 원기둥 x^2+y^2\le 1과 평면 z=0, z=1로 둘러싸인 영역 E를 통한 유량 \displaystyle\iint_{\partial E}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}을 계산한 값은?
1
\dfrac{1}{2}\pi
오답
2
\dfrac{3}{2}\pi
3
2\pi
4
3\pi
5
4\pi
1. 발산:
\text{div }\mathbf{F}=z + z + 2z = 4z.
2. 삼중 적분: 원통 좌표계 사용.
0\le r\le 1,\quad 0\le \theta \le 2\pi,\quad 0\le z\le 1.
\displaystyle\iiint_E 4z\, dV=4\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r\,dr \int_0^1 z\,dz
=4\cdot (2\pi)\cdot \left(\dfrac12\right)\cdot \left(\dfrac12\right)=2\pi
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