그린 정리를 이용하여 원 x^2+y^2=4로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하기 위한 선적분 \displaystyle\oint_C Pdx+Qdy에서 \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1이 되도록 하는 P와 Q는?
그린 정리의 넓이 공식은 A=\displaystyle\iint_D 1dA=\oint_C Pdx+Qdy이며, \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1을 만족하는 P, Q를 찾아야 한다.
①의 경우 0 - 0 = 0, ②의 경우 1 - (-1) = 2, ③의 경우 0 - 0 = 0, ④의 경우 \dfrac{1}{2} - (-\dfrac{1}{2}) = 1, ⑤의 경우 1 - 1 = 0이다.
따라서 \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1이 되도록 하는 P, Q는 P=-\dfrac{y}{2}, Q=\dfrac{x}{2}이다.